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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27238 590befadd42ca70008537535 高中 解答题 高考真题 已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$，点 $(2,\sqrt 2)$ 在 $C$ 上． 2022-04-17 21:25:02
27237 590bf084d42ca70008537545 高中 解答题 自招竞赛 若 $a$ 为正整数而 $\sqrt a$ 不为整数，证明：$\sqrt a$ 为无理数． 2022-04-17 21:24:02
27236 590bf09ed42ca70008537548 高中 解答题 自招竞赛 试证：除 $0,0,0$ 外，没有其他整数 $m,n,p$ 使得\[m+n\sqrt2+p\sqrt3=0.\] 2022-04-17 21:24:02
27235 590bf0c0d42ca7000853754b 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b,c$ 为三角形三边之长，$p=\dfrac{a+b+c}2$，$r$ 为内切圆半径，证明：\[\dfrac1{(p-a)^2}+\dfrac1{(p-b)^2}+\dfrac1{(p-c)^2}\geqslant\dfrac1{r^2}.\] 2022-04-17 21:23:02
27234 590bf0ead42ca700077f646c 高中 解答题 自招竞赛 证明：设 $m$ 是任一正整数，则 $a_m=\dfrac12+\dfrac13+\dfrac14+\dfrac15+\cdots+\dfrac1{2^m}$ 不是整数． 2022-04-17 21:22:02
27233 590bf0f8d42ca700093fc558 高中 解答题 高中习题 已知 $\triangle ABC$ 满足 $\cos A\cos B\cos C=\dfrac 18$，判断 $\triangle ABC$ 的形状． 2022-04-17 21:22:02
27232 590bf127d42ca7000853754f 高中 解答题 自招竞赛 下图是2013年恒大足球俱乐部策划的主场与首尔FC足球队的亚冠决赛海报，左边是恒大队，右边是首尔队，该海报的寓意是什么？要求简单推导海报中两个数学式子的结果．一个数学式子是 $\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}}$（拉马努金式子），另一个是 $\mathrm e^{\pi \mathrm i}+1$（已知欧拉公式 $\mathrm e^{\pi \mathrm i}=\cos\alpha+\mathrm i\sin\alpha$）． 2022-04-17 21:21:02
27231 590bf219d42ca700093fc56c 高中 解答题 高中习题 已知 $x>0$，求证：${\rm e}^x>x^2+\dfrac{5x}7+1$． 2022-04-17 21:20:02
27230 590bf4e6d42ca70008537569 高中 解答题 高考真题 如图，三棱锥 $P-ABC$ 中，$PA \perp$ 平面 $ABC$，$PA=1$，$AB=1$，$AC=2$，$\angle BAC=60^\circ$． 2022-04-17 21:20:02
27229 590bf180d42ca700077f647c 高中 解答题 高中习题 求证：对任意正整数 $n$ 和正实数 $c$，均存在 $x_0$，使得当 $x>x_0$ 时，有 ${\rm e}^x>cx^n$． 2022-04-17 21:19:02
27228 590c10d3d42ca70008537585 高中 解答题 自招竞赛 $\triangle ABC$ 的内点 $M$ 满足 $\angle CMB = 100^\circ $，线段 $BM$ 的中垂线交边 $AB$ 于 $P$，线段 $CM$ 的中垂线交边 $AC$ 于 $Q$，已知：$P$、$M$、$Q$ 三点共线，求 $\angle CAB$． 2022-04-17 21:18:02
27227 590c10f2d42ca7000a7e7e22 高中 解答题 自招竞赛 正数 $a,b, c$ 满足 $a < b + c$，求证：$\dfrac{a}{{1 + a}} < \dfrac{b}{{1 + b}} + \dfrac{c}{{1 + c}}$． 2022-04-17 21:18:02
27226 590c1126d42ca7000a7e7e25 高中 解答题 自招竞赛 是否存在两两不同的实数 $a, b,c$，使直角坐标系中的三条直线 $y = ax + b$，$y = bx + c$，$y = cx + a$ 共点？ 2022-04-17 21:17:02
27225 590c1171d42ca7000a7e7e29 高中 解答题 自招竞赛 在一个 $2013 \times 2013$ 的正数数表中，每行都成等差数列，每列平方后都成等差数列，求证：左上角的数和右下角的数之积等于左下角的数和右上角的数之积． 2022-04-17 21:16:02
27224 590c1440d42ca7000853759f 高中 解答题 自招竞赛 ${a_1} , {a_2} , {a_3} , \cdots $ 是一个递增的正等差数列．$k$、$l$、$m$ 是给定的正整数．已知 ${a_k}$ 与 ${a_l}$ 的几何平均数大于 ${a_m}$ 与 ${a_n}$ 的算术平均数．求证：$\dfrac{{k + l}}{2} > \sqrt {mn} $． 2022-04-17 21:16:02
27223 590c146fd42ca700077f64ca 高中 解答题 自招竞赛 对任意的 $\theta$，求 $32\cos^6\theta-\cos{6\theta}-6\cos{4\theta}-15\cos{2\theta}$ 的值． 2022-04-17 21:15:02
27222 590c14b5d42ca700077f64d0 高中 解答题 高中习题 求证：$1+\ln x<x^3+x^2$． 2022-04-17 21:15:02
27221 590c14d0d42ca7000a7e7e4a 高中 解答题 高中习题 求证：$\ln(1+x)\leqslant \dfrac{3x}{2\sqrt{x+1}+1}$． 2022-04-17 21:14:02
27220 590c1518d42ca7000a7e7e4e 高中 解答题 自招竞赛 设有 $mn$ 个实数排成一个 $m$ 行 $n$ 列的阵列 ${\left\{ {{a_{ij}}} \right\}_{m \times n}}$，使得每一行上的 $n$ 个数从左到右都按递增的顺序排列，即对任意 $1 \leqslant i \leqslant m$，当 ${j_1} < {j_2}$ 时有 ${a_{i{j_1}}} \leqslant {a_{i{j_2}}}$．下面把每列上的 $m$ 个数都从上到下按递增的顺序重排得到阵列 ${\left\{ {{a_{ij}}^\prime } \right\}_{m \times n}}$，即对任意的 $1 \leqslant j \leqslant n$，当 ${i_1} < {i_2}$ 时有 ${a_{{i_1}j}}^\prime \leqslant {a_{{i_2}j}}^\prime $，问这个新的阵列 ${\left\{ {{a_{ij}}^\prime } \right\}_{m \times n}}$ 每一行中的 $n$ 个数的大小顺序如何？给出结论并说明理由． 2022-04-17 21:14:02
27219 590c1641d42ca7000a7e7e56 高中 解答题 高考真题 设函数 $f(x)=\dfrac{x^2}2-k\ln x$，$k>0$． 2022-04-17 21:13:02
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