已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 为正项等比数列，且 ${a_3} + {a_4} - {a_1} - {a_2} = 5$，求 ${a_5} + {a_6}$ 的最小值．
【难度】
【出处】
2012年北京大学保送生试题
【标注】
【答案】
$20$
【解析】
设数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的公比为 $q\left( {q > 0} \right)$，则$${a_1}{q^2} + {a_1}{q^3} - a_1 - {a_1}q = 5,$$所以$$ {a_1} = \frac{5}{{{q^2} + {q^3} - 1 - q}} = \frac{5}{{\left( {q + 1} \right)({q^2} - 1)}}.$$由 ${a_1} > 0$ 知 $q > 1$．所以\[\begin{split} {a_5} + {a_6} &= {a_1}{q^4} + {a_1}{q^5}= {a_1}\left( {{q^4} + {q^5}} \right)\\&= \frac{5}{{\left( {q + 1} \right)({q^2} - 1)}} \cdot {q^4}\left( {q + 1} \right) = \frac{{5{q^4}}}{{{q^2} - 1}}\\&= 5\left( {{q^2} + 1 + \frac{1}{{{q^2} - 1}}} \right) \\&= 5\left( {{q^2} - 1 + \frac{1}{{{q^2} - 1}} + 2} \right) \geqslant 20,\end{split}\]当且仅当 ${q^2} - 1 = \dfrac{1}{{{q^2} - 1}}$ 即 $q = \sqrt 2 $ 时，${a_5} + {a_6}$ 有最小值 $20$．
答案
解析
备注
