$y = \dfrac{1}{2}{x^2}$ 与 $y = x + 4$ 围成区域中有矩形 $ABCD$，且 $A$、$B$ 在抛物线上，$D$ 在直线上，其中 $B$ 在 $y$ 轴右侧，且 $AB$ 长为 $2t$（$t > 0$）．
【难度】
【出处】
2012年清华大学保送生测试数学试题
【标注】
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当 $AB$ 与 $x$ 轴平行时，求矩形 $ABCD$ 面积 $S\left( t \right)$ 的函数表达式；标注答案$S\left( t \right) = - {t^3} - 2{t^2} + 8t ,t\in(0,2)$解析设 $A\left( { - t, \dfrac{1}{2}{t^2}} \right)$，$B\left( {t, \dfrac{1}{2}{t^2}} \right)$，$D\left( { - t, - t + 4} \right)$，则$$S\left( t \right) = 2t\left( { - t + 4 - \dfrac{1}{2}{t^2}} \right) = - {t^3} - 2{t^2} + 8t,$$其中 $0 < t < 2$．
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当边 $CD$ 与 $y = x + 4$ 重合时，求矩形 $ABCD$ 面积的最大值．标注答案$3\sqrt 3 $解析设边 $AB$ 所在的直线方程为 $y = x + b$，则联立直线与抛物线的方程，有$${x^2} - 2x - 2b = 0,$$于是\[\begin{split} {S_{ABCD}} =& AB \cdot AD =\sqrt 2\cdot\sqrt{1+2b}\cdot\dfrac{4-b}{\sqrt 2}\\=&\sqrt {\left( {1 + 2b} \right)\left( {4 - b} \right)\left( {4 - b} \right)} \\\leqslant &\sqrt {{{\left( {\dfrac{{1 + 2b + 4 - b + 4 - b}}{3}} \right)}^3}}\\=& 3\sqrt 3 .\end{split}\]当且仅当 $1+2b=4-b$，即 $b=1$ 时取到等号．
于是矩形 $ABCD$ 面积的最大值为 $3\sqrt 3 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
