在 $\triangle AOB$ 内（含边界），其中 $O$ 为坐标原点，$A$ 在 $x$ 轴正向，$B$ 在 $y$ 轴正向，且有 $OA = OB = 2$．
【难度】
【出处】
2012年清华大学保送生测试数学试题
【标注】
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用不等式组表示 $\triangle AOB$ 的区域；标注答案$\begin{cases} x + y \leqslant 2,\\ x \geqslant 0,\\y \geqslant 0.\\ \end{cases}$解析不等式组$$\begin{cases} x + y \leqslant 2,\\ x \geqslant 0,\\y \geqslant 0.\\ \end{cases}$$
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求证：在 $\triangle AOB$ 内的任意的 $11$ 个点，总可以分成两组，使一组的横坐标之和不大于 $6$，另一组的纵坐标之和不大于 $6$．标注答案略解析只需要证明线段 $x + y = 2$（$x \geqslant 0$ 且 $y \geqslant 0$）上的任意 $11$ 个点总可以按照题意分成两组即可．
设这 $11$ 个点为$${P_i}\left( {{x_i}, 2 - {x_i}} \right),i = 1, 2, \cdots , 11,$$不妨设 ${x_1} \leqslant {x_2} \leqslant \cdots \leqslant {x_{11}}$，且 $\displaystyle \sum\limits_{i = 1}^k {{x_i}} \leqslant 6$，$\displaystyle \sum\limits_{i = 1}^{k + 1} {{x_i}} > 6$，（否则有 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{11}x_i\leqslant 6$，任取 $(x_1,y_1)$ 为一组，剩下的为另一组即可满足．）则$$\left( {k + 1} \right){x_{k + 1}} \geqslant \sum\limits_{i = 1}^{k + 1} {{x_i}} > 6$$从而$${x_{k + 1}} > \dfrac{6}{{k + 1}}\qquad\qquad\cdots\cdots\text{ ① }$$此时只需要证明$$\sum\limits_{i = k + 1}^{11} {\left( {2 - {x_i}} \right)} \leqslant 6,$$用分析法证明，要证明$$\sum\limits_{i = k + 1}^{11} {\left( {2 - {x_i}} \right)} \leqslant 6,$$只需证明$$ \sum\limits_{i = k + 1}^{11} {{x_i}} \geqslant 16 - 2k,$$只需证明$$ \left( {11 - k} \right){x_{k + 1}} \geqslant 16 - 2k$$只需证明$$ {x_{k + 1}} \geqslant \dfrac{{16 - 2k}}{{11 - k}}\qquad\qquad\cdots\cdots\text{ ② }$$由 $\text{ ① }\text{ ② }$，只需要证明$$\dfrac{6}{{k + 1}} \geqslant \dfrac{{16 - 2k}}{{11 - k}},$$容易证明该不等式成立，因此原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
