四面体一个顶点处的三个角分别是 $\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{3},\arctan 2$，求角度为 $\dfrac{\pi}{3}$ 对应的面和角度为 $\arctan 2$ 对应的面所成的二面角的大小．
【难度】
【出处】
2008年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
$\pi-\arccos \dfrac{\sqrt{3}}{6}$
【解析】
由题意得$$\cos \theta =\dfrac{\cos \dfrac{\pi}{2}-\cos \dfrac{\pi}{3}\cdot \cos \left( \arctan 2 \right)}{\sin \dfrac{\pi}{3}\cdot \sin \left( \arctan 2 \right)}=\frac{0-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{5}}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{6},$$所以 $\pi-\arccos \dfrac{\sqrt{3}}{6}$ 为所求二面角的大小．
答案
解析
备注
