题目 设椭圆 $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\left( {a > 2} \right)$ 的离心率为 $\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$，斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过点 $E\left( {0 , 1} \right)$，且与椭圆相交于 $C$、$D$ 两点． 问题1 求椭圆方程； 答案1 $\dfrac{{{x^2}}}{6} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$ 解析1 由已知得，离心率 $e = \dfrac{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{a} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$，且 $b = 2$，从而 $a = \sqrt 6 $．<br/>所以椭圆的方程为$$\dfrac{{{x^2}}}{6} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1.$$ 备注1 问题2 若直线 $l$ 与 $x$ 轴相交于点 $G$，且 $\overrightarrow {GC} = \overrightarrow {DE} $，求 $k$ 的值； 答案2 $\pm \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}$ 解析2 直线 $l$ 的方程为 $y = kx + 1$，设 $C(x_1,y_1)$，$D(x_2,y_2)$，由方程组$$\begin{cases}<br/>\dfrac{{{x^2}}}{6} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1 ,\\<br/>y = kx + 1 ,\\<br/>\end{cases}$$消去 $y$ 得$$\left( {2 + 3{k^2}} \right){x^2} + 6kx - 9 = 0.$$于是 ${x_1} + {x_2} = - \dfrac{{6k}}{{2 + 3{k^2}}}$，由直线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $G$，知 $k \ne 0$，$G\left(-\dfrac 1k,0\right)$．<br/>又 $\overrightarrow {GC} = \overrightarrow {DE} $，可得$$\left(x_1+\dfrac 1k,y_1\right)=(-x_2,1-y_2).$$故 ${x_1} + {x_2} = - \dfrac{1}{k}$，<br/>所以$$- \dfrac{{6k}}{{2 + 3{k^2}}} = - \dfrac{1}{k},$$解得 $k = \pm \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}$． 备注2 问题3 设 $A$ 为椭圆的下顶点，${k_{AC}}$、${k_{AD}}$ 分别为直线 $AC$、$AD$ 的斜率，证明对任意的 $k$，恒有 ${k_{AC}} \cdot {k_{AD}} = - 2$． 答案3 略 解析3 因为 $A(0,-2)$，得 ${k_{AC}} = \dfrac{{{y_1} + 2}}{{{x_1}}}$，${k_{AD}} = \dfrac{{{y_2} + 2}}{{{x_2}}}$，又 ${x_1}{x_2} = \dfrac{{ - 9}}{{2 + 3{k^2}}}$，<br/>于是\[\begin{split}{k_{AC}} \cdot {k_{AD}}& = \dfrac{{\left( {{y_1} + 2} \right)\left( {{y_2} + 2} \right)}}{{{x_1}{x_2}}}\\& = \dfrac{{\left( {k{x_1} + 3} \right)\left( {k{x_2} + 3} \right)}}{{{x_1}{x_2}}}\\& = \dfrac{{{k^2}{x_1}{x_2} + 3k\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9}}{{{x_1}{x_2}}}\\& = {k^2} + \dfrac{{\dfrac{{ - 18{k^2}}}{{2 + 3{k^2}}} + 9}}{{\dfrac{{ - 9}}{{2 + 3{k^2}}}}} = - 2.\end{split}\] 备注3