在 $\triangle ABC$ 中，$A$、$B$、$C$ 的对边分别为 $a$、$b$、$c$．已知 $2{\sin ^2}\dfrac{{A + B}}{2} = 1 + \cos 2C$．
【难度】
【出处】
2012年清华大学（高水平大学）自主选拔学业能力测试
【标注】
-
求 $C$ 的大小；标注答案$\dfrac{{2\pi}}{3}$解析由 $2{\sin ^2}\dfrac{{A + B}}{2} = 1 + \cos 2C$，整理得$$ \cos \left( {A + B} \right) + \cos 2C = 0,$$即 $2{\cos ^2}C - \cos C - 1 = 0$，解得 $C = \dfrac{{2\pi}}{3}$．
-
若 ${c^2} = 2{b^2} - 2{a^2}$，求 $\cos 2A - \cos 2B$ 的值．标注答案$\dfrac34$解析题中所求代数式，可变形为$$\cos 2A - \cos 2B = - 2{\sin ^2}A + 2{\sin ^2}B,$$结合正弦定理，得$$- 2{\sin ^2}A + 2{\sin ^2}B = \dfrac{{2{b^2} - 2{a^2}}}{{{c^2}}}\cdot{\sin ^2}C =\sin^2C,$$因此，$\cos2A-\cos2B=\dfrac34$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
