设 $x$ 满足条件 $x^3-\dfrac 1{x^3}=8\sqrt 5$．求 $x^2+\dfrac 1{x^3}$ 的值．
【难度】
【出处】
2012年清华大学暑期学校学业水平测试试题
【标注】
【答案】
$-\dfrac {11}{2}(\sqrt 5+1)$ 或 $\dfrac 52(5-\sqrt 5)$
【解析】
令 $t=x-\dfrac 1x$，则有$$t^3+3t=x^3-\dfrac 1{x^3}=8\sqrt 5=(\sqrt 5)^3+3\sqrt 5,$$又因为 $y=x^3+3x$ 单调递增，所以 $t=x-\dfrac 1x=\sqrt 5$，解得 $x=\dfrac {\sqrt 5\pm 3}{2}$，且 $x^2=tx+1$．
于是有\[\begin{split} x^2+\dfrac 1{x^3}=&x^2+x^3-8\sqrt 5=(tx+1)(x+1)-8\sqrt 5\\=&t(tx+1)+(t+1)x+1-8\sqrt 5=(t+6)x+t+1-8\sqrt 5\\=&(6+\sqrt 5)\cdot\dfrac {\sqrt 5\pm 3}{2}+1-7\sqrt 5,\end{split}\]化简得 $x^2+\dfrac 1{x^3}=-\dfrac {11}{2}(\sqrt 5+1)$ 或 $\dfrac 52(5-\sqrt 5)$．
于是有\[\begin{split} x^2+\dfrac 1{x^3}=&x^2+x^3-8\sqrt 5=(tx+1)(x+1)-8\sqrt 5\\=&t(tx+1)+(t+1)x+1-8\sqrt 5=(t+6)x+t+1-8\sqrt 5\\=&(6+\sqrt 5)\cdot\dfrac {\sqrt 5\pm 3}{2}+1-7\sqrt 5,\end{split}\]化简得 $x^2+\dfrac 1{x^3}=-\dfrac {11}{2}(\sqrt 5+1)$ 或 $\dfrac 52(5-\sqrt 5)$．
答案
解析
备注
