已知两点 $A\left( { - 2, 0} \right)$，$B\left( {2, 0} \right)$．动点 $P$ 在 $y$ 轴上的射影是 $H$，且 $\overrightarrow {PA} \cdot \overrightarrow {PB} = 2{\left| {\overrightarrow {PH} } \right|^2}$．
【难度】
【出处】
2012年清华大学（高水平大学）自主选拔学业能力测试
【标注】
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求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；标注答案${y^2} - {x^2} = 4$解析设 $P\left( {x, y} \right)$，则 $\left( {x + 2, y} \right) \cdot \left( {x - 2, y} \right) = 2{x^2}$，化简得 ${y^2} - {x^2} = 4$．
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已知过点 $B$ 的直线交曲线 $C$ 于 $x$ 轴下方不同的两点 $M$、$N$，设 $MN$ 的中点为 $R$，过 $R$ 与点 $Q\left( {0, - 2} \right)$ 作直线 $RQ$，求直线 $RQ$ 斜率的取值范围．标注答案$\left( {\sqrt 2 - 1, 1} \right)$解析过 $B$ 的直线可设为 $x = my + 2$，设 $R\left( {{x_0}, {y_0}} \right)$，则$$\begin{cases}\dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}} \cdot \dfrac{1}{m} = 1 ,\\ {x_0} = m{y_0} + 2 \end{cases}$$解得$${x_0} = \dfrac{2}{{1 - {m^2}}},{y_0} = \dfrac{{2m}}{{1 - {m^2}}}, $$因此$${k_{RQ}} = \dfrac{{{y_0} + 2}}{{{x_0}}} = \dfrac{{\dfrac{{2m}}{{1 - {m^2}}} + 2}}{{\dfrac{2}{{1 - {m^2}}}}} = - {m^2} + m + 1,$$联立 $x = my + 2$ 与 ${y^2} - {x^2} = 4$，有$$\left( {1 - {m^2}} \right){y^2} - 4my - 8 = 0,$$该方程有两个不等负根，解得$$1 < m < \sqrt 2 ,$$综合以上得 ${k_{RQ}}$ 的取值范围为 $\left( {\sqrt 2 - 1, 1} \right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
