方程 $ax^2+(a+4)x+a+1=0$ 有且仅有一个素数根，求 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2012年北京大学优秀中学生夏令营试题
【标注】
【答案】
$a =-\dfrac{4m+1}{m^2+m+1}$（其中 $m$ 是质数）
【解析】
分离变量，有 $a=-\dfrac{4x+1}{x^2+x+1}$．考虑到方程有一个质根，设为 $m$，则 $m\geqslant 2$，于是可由此推得$$-\dfrac 97\leqslant a<0,$$此时由韦达定理，方程的两个根 $m,n$ 满足$$m\cdot n=1+\dfrac 1a\in\left(-\infty,\dfrac 29\right],$$所以方程不可能有两个质根．于是 $a$ 的取值范围是所有形如$$-\dfrac{4m+1}{m^2+m+1},$$（其中 $m$ 是质数）的数组成的集合．
答案
解析
备注
