已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 中，${a_1} = 3$，${a_{n + 1}} = a_n^2 - n{a_n} + \alpha $，$n \in {{\mathbb{N}}^*}$，$\alpha \in {\mathbb{R}}$．
【难度】
【出处】
2013年卓越大学联盟自主选拔录取学科基础测试数学试题
【标注】
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若 ${a_n} \geqslant 2n$ 对 $n \in {{\mathbb{N}}^*}$ 都成立，求 $\alpha $ 的取值范围；标注答案$\left[ { - 2,+ \infty } \right)$解析
必要性 由 ${a_2} = 6 + \alpha $，得 $\alpha \geqslant - 2$．充分性 用数学归纳法证明．
当 $n = 1,2$ 时，命题显然成立；
假设当 $n = k$（$k \geqslant 2$）时，${a_k} \geqslant 2k$ 成立，则
当 $n = k + 1$ 时，\[\begin{split}{a_{k + 1}}& = a_k^2 - k{a_k} + \alpha \\& \geqslant {\left( {2k} \right)^2} - k \cdot 2k + \alpha \\& \geqslant 2{k^2} - 2 \\& \geqslant 2\left( {k + 1} \right).\end{split}\]因此充分性得证． -
当 $\alpha = - 2$ 时，证明：$\dfrac{1}{{{a_1} - 2}} + \dfrac{1}{{{a_2} - 2}} + \cdots + \dfrac{1}{{{a_n} - 2}} < 2$（$n \in {{\mathbb{N}}^*}$）．标注答案略解析将命题加强至\[\begin{split}\dfrac{1}{{{a_1} - 2}} + \dfrac{1}{{{a_2} - 2}} + \cdots + \dfrac{1}{{{a_n} - 2}} &\leqslant 2\left( {1 - \dfrac{1}{{{2^n}}}} \right) \\&= 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}}.\end{split}\]只需要证明$$\dfrac{1}{{{a_n} - 2}} \leqslant \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}},$$即$${a_n} \geqslant {2^{n - 1}} + 2.$$用数学归纳法证明．
当 $n = 1 , 2$ 时，命题显然成立；
假设当 $n = k$（$k \geqslant 2$）时，${a_k} \geqslant {2^{k - 1}} + 2$ 成立，则当 $n = k + 1$ 时，\[\begin{split}{a_{k + 1}} &= a_k^2 - k{a_k} - 2 \\&= {a_k}\left( {{a_k} - k} \right) - 2 \\& \geqslant \left( {{2^{k - 1}} + 2} \right) \cdot \left( {2k - k} \right) - 2\\& \geqslant {2^k} + 2.\end{split}\]因此命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
