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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
24258 596efbcadbbeff000706d280 高中 解答题 自招竞赛 设正实数 $a,b,c$ 满足 $a\leqslant b \leqslant c$，且 $a^2+b^2+c^2=9$．证明：$abc+1>3a$． 2022-04-17 20:03:35
24257 596f1a28dbbeff000aeab78c 高中 解答题 自招竞赛 在等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_2=2$，$q$ 是公比．记 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，$T_n$ 为数列 $\{a_n^2\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{2n}=2T_n$，求 $q$ 的值． 2022-04-17 20:02:35
24256 597016e2dbbeff0009d29e61 高中 解答题 自招竞赛 已知 $31$ 位学生参加了某次考试，考试共有 $10$ 道题，每位学生解出了至少 $6$ 道题．求证：存在两位学生，他们解出的题目中至少有 $5$ 道相同． 2022-04-17 20:02:35
24255 5970240edbbeff0009d29e91 高中 解答题 自招竞赛 如图，$PA,PB$ 为圆 $O$ 的两条切线，切点分别为 $A,B$，过点 $P$ 的直线交圆 $O$ 于 $C,D$ 两点，交弦 $AB$ 于点 $Q$．求证：$PQ^2=PC\cdot PD-QC\cdot QD$． 2022-04-17 20:02:35
24254 5970240edbbeff0009d29e92 高中 解答题 自招竞赛 设 $(x+1)^p\cdot (x-3)^q=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots +a_{n-1}x+a_n$，$p,q\in \mathbb N^*$． 2022-04-17 20:01:35
24253 59702986dbbeff000aeab7bf 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），过坐标原点 $O$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A$，$B$ 两点，$C$ 是椭圆上的一点，且满足 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}$． 2022-04-17 20:00:35
24252 59702986dbbeff000aeab7c0 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_2=6$，$4a_{n-1}+a_{n+1}=4a_n$（$n \geqslant 2$）． 2022-04-17 20:59:34
24251 5970539ddbbeff0008bb4ef0 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}(a>b>0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt3}{2}$，右焦点为圆 $C_2:\left(x-\sqrt3\right)^2+y^2=7$ 的圆心． 2022-04-17 20:59:34
24250 597057addbbeff0008bb4f0a 高中 解答题 高中习题 在直角三角形 $ABC$ 中，已知斜边 $BC=a$．若长为 $2a$ 的线段 $PQ$ 以直角顶点 $A$ 为中点，则当 $\overrightarrow{PQ}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角为何值时，$\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{CQ}$ 的值最大？并求出这个最大值． 2022-04-17 20:58:34
24249 59705e42dbbeff000706d2d0 高中 解答题 高中习题 在扇形 $AOB$ 中，$OA=OB=1$，$\angle AOB=\dfrac{\pi}3$，$C$ 为弧 $AB$（不包含端点）上的一点，且 $\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$． 2022-04-17 20:58:34
24248 59706671dbbeff0009d29ef0 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_1,a_2,a_3$ 成等差数列，$a_1+a_2+a_3=15$，$b_1,b_2,b_3$ 成等比数列，$b_1b_2b_3=27$．若 $a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3$ 是正整数且成等比数列，求 $a_3$ 的最大值． 2022-04-17 20:57:34
24247 5970676fdbbeff0008bb4f3d 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=f'(1){\rm e}^{x-1}-f(0)x+\dfrac 12x^2$． 2022-04-17 20:56:34
24246 59706affdbbeff000706d327 高中 解答题 高中习题 在 $\triangle{ABC}$ 中，顶点 $A,B$ 和内心 $I$ 的坐标分别为 $A(9,1),B(3,4),I(4,1)$，求顶点 $C$ 的坐标． 2022-04-17 20:56:34
24245 59706ccddbbeff0008bb4f6c 高中 解答题 高中习题 解方程组 $\begin{cases}x-y+z-w=2,\\x^2-y^2+z^2-w^2=6,\\x^3-y^3+z^3-w^3=20,\\x^4-y^4+z^4-w^4=66.\end{cases}$ 2022-04-17 20:55:34
24244 5970701ddbbeff000aeab880 高中 解答题 高中习题 设 $f(x)=-\dfrac 13 x^3+\dfrac 12 x^2+2ax$．当 $0<a<2$ 时，$f(x)$ 在 $[1,4]$ 上的最小值为 $-\dfrac{16}{3}$，求 $f(x)$ 在该区间上的最大值． 2022-04-17 20:54:34
24243 59714e1ddbbeff0009d29f80 高中 解答题 自招竞赛 如图，已知圆 $O:x^2+y^2=1$ 与 $x$ 轴交于 $A$，$B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$，$M$ 是圆 $O$ 上任一点（除去圆 $O$ 与两坐标轴的交点）．直线 $AM$ 与 $BC$ 交于点 $P$，直线 $CM$ 与 $x$ 轴交于点 $N$，设直线 $PM$，$PN$ 的斜率分别为 $m$，$n$，求证：$m-2n$ 为定值． 2022-04-17 20:54:34
24242 59719c58d3e6ac00094ed535 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a>0$，函数 $f(x)=\ln x-a(x-1)$，$g(x)=\mathrm{e}^x$． 2022-04-17 20:54:34
24241 59719e7bd3e6ac00094ed55c 高中 解答题 自招竞赛 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，弦 $BD,CA$ 的延长线相交于点 $E$，$EF$ 垂直 $BA$ 的延长线于点 $F$．求证： 2022-04-17 20:54:34
24240 59719e7bd3e6ac00094ed55d 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=\ln(1+ax)-x^2$（$a>0$，$x\in(0,1]$）． 2022-04-17 20:53:34
24239 59719e7bd3e6ac00094ed55f 高中 解答题 自招竞赛 为了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校 $100$ 名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图．由于不慎将部分数据丢失，但知道前 $4$ 组的频数从左到右依次是等比数列 $\{a_n\}$ 的前四项，后 $6$ 组的频数从左到右依次是等差数列 $\{b_n\}$ 的前六项． 2022-04-17 20:52:34
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