如图，$PA,PB$ 为圆 $O$ 的两条切线，切点分别为 $A,B$，过点 $P$ 的直线交圆 $O$ 于 $C,D$ 两点，交弦 $AB$ 于点 $Q$．求证：$PQ^2=PC\cdot PD-QC\cdot QD$．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛陕西省预赛（二试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，连结 $OA,OB,OP$，设 $OP$ 与 $AB$ 的交点为 $H$，$CD$ 的中点为 $M$，连结 $OM$，则$$OM\perp CD , OH\perp AB,$$所以 $Q,H,O,M$ 四点共圆，于是$$PQ\cdot PM=PH\cdot PO.$$
因为 ${\rm Rt}\triangle{PHA}\backsim {\rm Rt}\triangle{PAO}$，所以$$PA^2=PH\cdot PO,$$故$$PQ\cdot PM=PA^2.$$由切割线定理，得$$PA^2=PC\cdot PD,$$所以$$PQ\cdot PM=PC\cdot PD,$$即$$PQ\cdot(PQ+QM)=PC\cdot PD,$$故$$PQ^2=PC\cdot PD-PQ\cdot QM.$$又 $P,A,O,M$ 四点共圆，$P,B,M,O$ 四点共圆，所以 $P,B,M,O,A$ 五点共圆．
由相交弦定理，得$$PQ\cdot QM=AQ\cdot QB=CQ\cdot QD,$$故$$PQ^2=PC\cdot PD-QC\cdot QD.$$
因为 ${\rm Rt}\triangle{PHA}\backsim {\rm Rt}\triangle{PAO}$，所以$$PA^2=PH\cdot PO,$$故$$PQ\cdot PM=PA^2.$$由切割线定理，得$$PA^2=PC\cdot PD,$$所以$$PQ\cdot PM=PC\cdot PD,$$即$$PQ\cdot(PQ+QM)=PC\cdot PD,$$故$$PQ^2=PC\cdot PD-PQ\cdot QM.$$又 $P,A,O,M$ 四点共圆，$P,B,M,O$ 四点共圆，所以 $P,B,M,O,A$ 五点共圆．由相交弦定理，得$$PQ\cdot QM=AQ\cdot QB=CQ\cdot QD,$$故$$PQ^2=PC\cdot PD-QC\cdot QD.$$
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