略

因为$$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC} ,$$所以$$\overrightarrow{OC} \cdot (\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})=\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{AB}=0,$$故$$\overrightarrow{OC} \perp \overrightarrow{AB}.$$又点 $O$，$A$，$B$ 同为直线上的三点，所以 $ \overrightarrow{OC} \perp \overrightarrow{OA}$．
设 $\left|\overrightarrow{OA}\right|=r_1$，$\left|\overrightarrow{OC}\right|=r_2$，$\angle xOA=\theta$，则 $\angle xOC=\theta\pm \dfrac {\pi}{2}$．
于是$$A(r_1\cos \theta,r_1\sin \theta) , B\left(r_2\cos \left(\theta\pm \dfrac {\pi}{2}\right),r_2\sin \left(\theta\pm \dfrac {\pi}{2}\right)\right).$$因为点 $A$ 在椭圆上，所以$$\begin{cases}\dfrac {r_1^2\cos ^2\theta}{a^2}+\dfrac {r_1^2\sin ^2\theta}{b^2}=1,\\ \dfrac {r_2^2\cos ^2 \left(\theta\pm \dfrac {\pi}{2}\right)}{a^2}+\dfrac {r_2^2\sin ^2 \left(\theta\pm \dfrac {\pi}{2}\right)}{b^2}=1,\end{cases}$$即$$\begin{cases}\dfrac {1}{r_1^2}=\dfrac {\cos ^2\theta}{a^2}+\dfrac {\sin ^2\theta}{b^2},\\ \dfrac {1}{r_2^2}=\dfrac {\sin ^2\theta}{a^2}+\dfrac {\cos ^2\theta}{b^2},\end{cases}$$于是$$\dfrac {1}{r_1^2}+\dfrac {1}{r_2^2}=\dfrac {1}{a^2}+\dfrac {1}{b^2},$$故 $\dfrac {1}{\left|\overrightarrow{OA}\right|^2}+\dfrac {1}{\left|\overrightarrow{OC}\right|^2}$ 是个定值．

$\dfrac{2a^2b^2}{a^2+b^2}$

由 $(1)$ 得$$\dfrac {1}{a^2}+\dfrac {1}{b^2}\geqslant 2\sqrt {\dfrac {1}{r_1^2}\cdot \dfrac {1}{r_2^2}},$$所以$$r_1r_2 \geqslant \dfrac {2}{\dfrac {1}{a^2}+\dfrac {1}{b^2}}=\dfrac{2a^2b^2}{a^2+b^2},$$当 $r_1=r_2$，即当 $A$，$B$，$C$ 三点共圆时等号成立．
因此\[\begin{split}S_{\triangle ABC}&=\dfrac 12 \left|\overrightarrow{OC}\right| \cdot \left| \overrightarrow{AB}\right| \\&=\left|\overrightarrow{OA}\right| \cdot \left| \overrightarrow{OC}\right|\\&=r_1r_2\geqslant \dfrac{2a^2b^2}{a^2+b^2},\end{split}\]故 $\triangle ABC$ 面积的最小值是 $\dfrac{2a^2b^2}{a^2+b^2}$．