设 $a_1,a_2,a_3$ 成等差数列，$a_1+a_2+a_3=15$，$b_1,b_2,b_3$ 成等比数列，$b_1b_2b_3=27$．若 $a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3$ 是正整数且成等比数列，求 $a_3$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
【答案】
$9+\dfrac{55+7\sqrt{61}}{2}$
【解析】
由条件知 $a_2=5$，$b_2=3$．
设$$a_1=5-d , a_3=5+d , b_1=\dfrac 3q , b_3=3q,$$则由条件知 $5-d+\dfrac 3q$ 和 $5+d+3q$ 都是正整数且$$\left(5-d+\dfrac 3q\right)(5+d+3q)=64,$$故 $5-d+\dfrac 3q$ 和 $5+d+3q$ 的取值本质上只有四组：$$(1,64),(2,32),(4,16),(8,8).$$情形一 对于 $(1,64)$，求解方程组$$\begin{cases}5-d+\dfrac 3q=1,\\ 5+d+3q=64,\end{cases}$$得$$3q+\dfrac 3q =55,$$于是有$$q_{1,2}=\dfrac{55\pm 7\sqrt{61}}{6},$$此时，$$d_{1,2}=4+\dfrac 3{q_{1,2}},$$显然较大者为$$4+\dfrac 3{\dfrac{55-7\sqrt{61}}{6}}=4+\dfrac{55+7\sqrt{61}}{2}.$$情形二 对于 $(2,32)$，求解方程组$$\begin{cases}5-d+\dfrac 3q=2,\\ 5+d+3q =32,\end{cases}$$得$$q+\dfrac 1q =8,$$于是有$$q_{1,2}=\dfrac{8\pm \sqrt{64-4}}{2}=4\pm \sqrt{15},$$此时$$d_{1,2}=3+\dfrac 3{q_{1,2}},$$显然较大者为$$3+\dfrac{3}{4\sqrt{15}}=15+3\sqrt{15}.$$情形三 对于 $(4,16)$，求解方程组$$\begin{cases}5-d+\dfrac 3q =4,\\ 5+d+3q=16,\end{cases}$$得$$3q+\dfrac 3q =10,$$于是 $q=3$ 或 $\dfrac 13$，此时 $d_{1,2}=1+\dfrac 3{q_{1,2}}=2$ 或 $10$，故较大者为 $10$．
情形四 对于 $(8,8)$，求解方程组$$\begin{cases}5-d+\dfrac 3q=8,\\ 5+d+3q=8,\end{cases}$$得$$q+\dfrac 1q=2,$$于是 $q=1$，从而 $d=0$．
综合四种情况，$d$ 最大能取到 $4+\dfrac{55+7\sqrt{61}}{2}$，所以最大的 $a_3$ 为 $9+\dfrac{55+7\sqrt{61}}{2}$．
设$$a_1=5-d , a_3=5+d , b_1=\dfrac 3q , b_3=3q,$$则由条件知 $5-d+\dfrac 3q$ 和 $5+d+3q$ 都是正整数且$$\left(5-d+\dfrac 3q\right)(5+d+3q)=64,$$故 $5-d+\dfrac 3q$ 和 $5+d+3q$ 的取值本质上只有四组：$$(1,64),(2,32),(4,16),(8,8).$$
综合四种情况，$d$ 最大能取到 $4+\dfrac{55+7\sqrt{61}}{2}$，所以最大的 $a_3$ 为 $9+\dfrac{55+7\sqrt{61}}{2}$．
答案
解析
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