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在等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_2=2$，$q$ 是公比．记 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，$T_n$ 为数列 $\{a_n^2\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{2n}=2T_n$，求 $q$ 的值．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛江苏省初赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$
【解析】
情形一 若 $q=1$，则$$a_n=a_2=2 , a_n^2=4,$$所以$$S_{2n}=4n,T_n=4n,S_{2n}\ne2T_n,$$情形二 若 $q=-1$，则$$a_n=2\cdot(-1)^n , a_n^2=4,$$所以$$S_{2n}=0,T_n=4n,S_{2n}\ne2T_n,$$情形三 若 $q\ne\pm1$，则$$a_n=2q^{n-2},a_n^2=4q^{2n-4},$$从而$$S_{2n}=\dfrac{\frac2q\cdot(1-q^{2n})}{1-q},T_n=\dfrac{\frac{4}{q^2}\cdot(1-q^{2n})}{1-q^2},$$由 $S_{2n}=2T_n$，得$$q^2+q-4=0,$$解得 $q=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$．
答案 解析 备注
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