已知 $31$ 位学生参加了某次考试，考试共有 $10$ 道题，每位学生解出了至少 $6$ 道题．求证：存在两位学生，他们解出的题目中至少有 $5$ 道相同．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $S$ 是所有试题的集合，$S_i$ 是第 $i$ 位学生解出的试题的集合，$T_i=S\backslash S_i$ 是第 $i$ 为学生未解出的试题的集合．原题即证：存在 $i\ne j$ 使得 $|S_i\cap S_j|\geqslant5$．
不妨假设对任意 $i=1,2,\cdots,31$ 都有$$|S_i|=6 , |T_i|=4.$$因为 $S$ 共有 $\mathrm{C}_{10}^{3}=120$ 个三元子集，每个 $T_i$ 恰包含 $4$ 个三元子集，所以，存在 $i\ne j$ 使得 $T_i,T_j$ 包含相同的三元子集，即$$|T_i\cap T_j|\geqslant3,$$从而$$|S_i\cap S_j|=|S_i|+|S_j|-|S_i\cup S_j|=6+6-(10-|T_i\cap T_j|)\geqslant 5.$$
不妨假设对任意 $i=1,2,\cdots,31$ 都有$$|S_i|=6 , |T_i|=4.$$因为 $S$ 共有 $\mathrm{C}_{10}^{3}=120$ 个三元子集，每个 $T_i$ 恰包含 $4$ 个三元子集，所以，存在 $i\ne j$ 使得 $T_i,T_j$ 包含相同的三元子集，即$$|T_i\cap T_j|\geqslant3,$$从而$$|S_i\cap S_j|=|S_i|+|S_j|-|S_i\cup S_j|=6+6-(10-|T_i\cap T_j|)\geqslant 5.$$
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