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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
24278 5968850822d14000091d725e 高中 解答题 自招竞赛 设函数 $f(x)=\sin x+\sqrt3\cos x+1$． 2022-04-17 20:14:35
24277 5968899022d140000ac07f54 高中 解答题 自招竞赛 在平面直角坐标系内，画出同时满足以下条件的所有矩形：
$(1)$ 这些矩形的各边均与两坐标轴平行或重合；
$(2)$ 这些矩形的所有顶点（重复的只计算一次）恰好为 $100$ 个整点（横纵坐标均为整数的点称为整点）．
问：最多能画出多少个这样的矩形，说明你的理由．		 2022-04-17 20:14:35
24276 596b22f722d14000091d7296 高中 解答题 自招竞赛 已知四边形 $PQRS$ 是圆内接四边形，$\angle PSR=90^\circ$，过点 $Q$ 作 $PR,PS$ 的垂线，垂足分别为点 $H,K$． 2022-04-17 20:14:35
24275 596b28f622d14000091d72d1 高中 解答题 自招竞赛 设 $p$ 为素数，$n$ 为正整数，且 $n=n_0+n_1p+n_2p^2+\cdots+n_tp^t$，其中 $n_i\in\mathbb N^*$，$0\leqslant n_i\leqslant p-1$，$i=0,1,2,\cdots,t$．令 $S_n$ 表示满足下列条件的有序三元数组 $(a,b,c)$ 的集合：
① $a,b,c$ 均为非负整数；
② $a+b+c=n$；
③ $\dfrac{n!}{a!b!c!}$ 不能被 $p$ 整除．
问集合 $S_n$ 中共有多少个有序三元数组 $(a,b,c)$？		 2022-04-17 20:13:35
24274 596c0f2e22d140000ac07f93 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-x$． 2022-04-17 20:12:35
24273 596c116622d140000ac07fb8 高中 解答题 自招竞赛 已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，底面积为 $1$，求此三棱锥体积的最大值． 2022-04-17 20:12:35
24272 596c16c322d14000091d731c 高中 解答题 自招竞赛 如图，在锐角 $\triangle ABC$ 中，$AB>AC$，$M,N$ 是 $BC$ 边上不同的两点，使得 $\angle BAM=\angle CAN$．设 $\triangle ABC$ 和 $\triangle AMN$ 的外心分别为 $O_1,O_2$，求证：$O_1,O_2,A$ 三点共线． 2022-04-17 20:11:35
24271 596c16c322d14000091d731f 高中 解答题 自招竞赛 设 $S_n=1+\dfrac12+\cdots+\dfrac1n$，$n$ 是正整数．证明：对满足 $0\leqslant a<b\leqslant1$ 的任意实数 $a,b$，数列 $\{S_n-[S_n]\}$ 中有无穷多项属于 $(a,b)$，这里 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数． 2022-04-17 20:10:35
24270 596c34ea22d14000091d7363 高中 解答题 自招竞赛 设 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，且满足 $\sin A+\sin B=(\cos A+\cos B)\sin C$． 2022-04-17 20:09:35
24269 596c34ea22d14000091d7364 高中 解答题 自招竞赛 如图，设 $H$ 为锐角 $\triangle ABC$ 的垂心，过点 $H$ 且垂直于 $BH$ 的直线交 $AB$ 于点 $D$，过点 $H$ 且垂直于 $CH$ 的直线交 $AC$ 于点 $E$，过点 $C$ 且垂直于 $BC$ 的直线交直线 $DE$ 于点 $F$．求证：$FH=FC$． 2022-04-17 20:09:35
24268 596c779f22d14000081817a4 高中 解答题 自招竞赛 如图，$\odot O_1$ 与 $\odot O_2$ 内切于点 $P$，$\odot O_1$ 的弦 $AB$ 切 $\odot O_2$ 于点 $C$，延长 $PC$ 交 $\odot O_1$ 于点 $G$，$PA$，$PB$ 分别交 $\odot O_2$ 于点 $E$，$F$，$EF$ 交 $PC$ 于点 $D$，延长 $AD$ 交 $\odot O_1$ 于点 $H$．求证： 2022-04-17 20:08:35
24267 596c77b522d14000081817b8 高中 解答题 自招竞赛 盒中装有红色和蓝色纸牌各 $100$ 张，每色纸牌都含标数为 $1,3,3^{2},\cdots,3^{99}$ 的牌各一张，两色纸牌的标数总和记为 $S$；对于给定的正整数 $n$，若能从盒中取出若干张牌，使其标数之和恰为 $n$，便称为一种取牌 $n{\_}$ 的方案，不同的 $n{\_}$ 方案种数记为 $f(n)$；试求 $f(1)+f(2)+\cdots+f(S)$ 之值． 2022-04-17 20:07:35
24266 596c7e4222d14000081817ce 高中 解答题 自招竞赛 已知 $S_n$ 是数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，对任意的正整数 $n$，都有 $(1-b)S_n=-ba_n+4^n$ 成立，其中 $b>0$． 2022-04-17 20:07:35
24265 596d5f7577128b000aceeab8 高中 解答题 自招竞赛 给定 $y$ 轴上的一点 $A(0,a)$（$a>1$），对于曲线 $y=\left
|\dfrac 12 x^2-1\right|$ 上的动点 $M(x,y)$，试求 $A,M$ 两点之间距离 $|AM|$ 的最小值（用 $a$ 表示）．		 2022-04-17 20:06:35
24264 596d5f7577128b000aceeab9 高中 解答题 自招竞赛 如图，$AB,CD,EF$ 是一个圆中三条不相交的弦，以其中每两条弦为一组对边，各得到一个凸四边形，设这三个四边形的对角线的交点分别为 $M,N,P$．证明：$M,N,P$ 三点共线． 2022-04-17 20:06:35
24263 596dc8adbe56b5000abdd9aa 高中 解答题 自招竞赛 当实数 $a$ 为何值时，关于 $x$ 的方程 $ax=\ln x$ 无解、有一解、有两解？ 2022-04-17 20:05:35
24262 596dc8adbe56b5000abdd9ab 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=x|x-2a|$．试求 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值 $g(a)$． 2022-04-17 20:05:35
24261 596eaa79dbbeff0009d29d9d 高中 解答题 自招竞赛 求不定方程 $x_1+x_2+x_3+3x_4+3x_5+5x_6=21$ 的正整数解的组数． 2022-04-17 20:05:35
24260 596eef15dbbeff0008bb4e61 高中 解答题 自招竞赛 如图，$PD$ 垂直于梯形 $ABCD$ 所在的平面，$\angle ADC=\angle BAD=90^\circ$，$F$ 为 $PA$ 中点，$PD=\sqrt2$，$AB=AD=\dfrac12CD=1$，四边形 $PDCE$ 为矩形，线段 $PC$ 交 $DE$ 于点 $N$． 2022-04-17 20:04:35
24259 596efbcadbbeff000706d27f 高中 解答题 自招竞赛 如图，双曲线的中心在坐标原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，两条渐近线分别为 $l_1,l_2$，经过右焦点 $F$ 垂直于 $l_1$ 的直线分别交 $l_1,l_2$ 于 $A,B$ 两点．又已知该双曲线的离心率 $e=\dfrac{\sqrt 5}{2}$． 2022-04-17 20:03:35
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