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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
24198 597e82fbd05b90000addb26a 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+(a+1)x+(1-a)\ln{x}$，$a\in\mathbb{R}$． 2022-04-17 20:30:34
24197 597e8339d05b90000b5e3069 高中 解答题 高中习题 一个圆的内接四边形边长依次为 $1,2,3,4$，求这个圆的半径及内接四边形的面积．如果去掉“圆内接”的限制条件，四边形的面积的最大值是多少？ 2022-04-17 20:30:34
24196 597e8694d05b90000addb286 高中 解答题 高中习题 设 $\left\{a_n\right\}$ 是可以表示为两个或两个以上连续正整数之和的正整数从小到大排成的数列，设此数列的前 $n$ 项和为 $S_n$． 2022-04-17 20:29:34
24195 597e8cfcd05b90000c805781 高中 解答题 高中习题 已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}2+y^2=1$ 的右焦点为 $F$，过 $F$ 的直线交椭圆与 $P,Q$ 两点． 2022-04-17 20:28:34
24194 597ea692d05b900009165217 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 右焦点为 $F$，右准线 $l$ 交 $x$ 轴于点 $N$，过椭圆上一点 $P$ 作 $PM$ 垂直于准线 $l$，垂足为 $M$．若 $PN$ 平分 $\angle FPM$，且四边形 $OFMP$ 为平行四边形，证明 $e>\dfrac23$． 2022-04-17 20:27:34
24193 597ee320d05b90000c805990 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f\left( x \right)=\dfrac{1}{{\sqrt {1+x} }}+\dfrac{1}{{\sqrt {1+a} }}+\sqrt {\dfrac{{ax}}{{ax+8}}} $，$x \in \left( {0, +\infty } \right)$．对任意正数 $a$，证明：$1<f\left( x \right)<2$． 2022-04-17 20:26:34
24192 597fcfe0d05b900009165411 高中 解答题 高中习题 给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1，图2中，并作简要说明； 2022-04-17 20:26:34
24191 597fdf673ccefb000891699b 高中 解答题 自招竞赛 试证明：集合 $A=\{2,2^2,\cdots,2^n,\cdots\}$ 满足 2022-04-17 20:25:34
24190 59804f873ccefb00089169f8 高中 解答题 自招竞赛 对于 $2n$ 元集合 $M=\{1,2,\cdots,2n\}$，若 $n$ 元集 $A=\{a_{1},a_{2},\cdots, a_{n}\}$，$B=\{b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\}$ 满足：$A\cup B=M,A\cap B=\varnothing $，且 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}=\sum\limits_{k=1}^{n}b_{k}$，则称 $A\cap B$ 是集合 $M$ 的一个“等和划分”（$A\cup B$ 与 $B\cup A$ 算是同一个划分）．试确定集合 $M=\{1,2,3\cdots,12\}$ 共有多少个“等和划分”． 2022-04-17 20:25:34
24189 598286fc400acd00094aab10 高中 解答题 自招竞赛 如图，$PA,PB$ 为圆 $O$ 的两条切线，切点分别为 $A,B$，过点 $P$ 的直线交圆 $O$ 于 $C,D$ 两点，交弦 $AB$ 于点 $Q$．求证：$PQ^2=PC\cdot PD-QC\cdot QD$． 2022-04-17 20:24:34
24188 5982960b400acd0007dcc48c 高中 解答题 自招竞赛 已知 $p,q$（$q\ne 0$）是实数，方程 $x^2-px+q=0$ 有两个实根 $\alpha,\beta$，数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=p$，$a_2=p^2-q$，$a_n=pa_{n-1}-qa_{n-2}$（$n=3,4,\cdots $）． 2022-04-17 20:24:34
24187 5982ce8765a6ba00070eee60 高中 解答题 自招竞赛 如图，$\odot O$ 与线段 $AB$ 相切于点 $M$，与以 $AB$ 为直径的半圆相切于点 $E$．$CD\perp AB$ 于点 $D$，$CD$ 与以 $AB$ 为直径的半圆交于点 $C$，且与 $\odot O$ 相切于点 $F$，连结 $AC,CM$．求证： 2022-04-17 20:24:34
24186 5982ce8765a6ba00070eee61 高中 解答题 自招竞赛 设 $x_i\in\{\sqrt 2 -1,\sqrt 2+1\}$，$i=1,2,\cdots ,2010$．令 $S=x_1x_2+x_3x_4+\cdots +x_{2009}x_{2010}$． 2022-04-17 20:23:34
24185 5983d67665a6ba00070eee9d 高中 解答题 高中习题 解方程组 $\begin{cases}5\left(x+\dfrac 1x\right)=12\left(y+\dfrac 1y\right)=13\left(z+\dfrac 1z\right),\\xy+yz+zx=1.\end{cases}$ 2022-04-17 20:23:34
24184 598532985ed01a000ba75ad1 高中 解答题 高中习题 已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}2+y^2=1$ 的右焦点为 $F$，过 $F$ 的直线交椭圆与 $P,Q$ 两点． 2022-04-17 20:22:34
24183 5985e7195ed01a000ba75b50 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，$\angle CAD = \angle BAD = \angle ABD = \angle BCD$，求证：$\triangle ABC$ 的三边长成等比数列． 2022-04-17 20:21:34
24182 5987b7035ed01a0008fa5efe 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=\ln(1+ax)-x^2$（$a>0$，$x\in(0,1]$）． 2022-04-17 20:21:34
24181 5987b7035ed01a0008fa5f02 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=\ln(1+ax)-x^2$（$a>0$，$x\in(0,1]$）． 2022-04-17 20:20:34
24180 5987fbc55ed01a000ba75bc3 高中 解答题 自招竞赛 求方程 $\left[\dfrac x2\right]+\left[\dfrac x3\right]+\left[\dfrac x7\right]=x$ 的所有解，其中 $[a]$ 表示不超过 $a$ 的最大整数． 2022-04-17 20:19:34
24179 598806f25ed01a00098494cc 高中 解答题 自招竞赛 $AD$ 是直角三角形 $ABC$ 斜边 $BC$ 上的高（$AB<AC$），$I_{1},I_{2}$ 分别是 $\triangle ABD,\triangle ACD$ 内心，$\triangle AI_{1}I_{2}$ 的外接圆 $\odot O$ 分别交 $AB,AC$ 于 $E,F$，直线 $EF,BC$ 交于点 $M$．证明：$I_{1},I_{2}$ 分别 $\triangle ODM$ 的内心和旁心． 2022-04-17 20:19:34
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