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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
24218 597851a2fcb2360008eabe6c 高中 解答题 自招竞赛 如果正整数 $n$ 可以写成 $a^{b}$（其中 $a,b\in\mathbb N,a\geqslant 2,b\geqslant 2$）的形式，则称 $n$ 为“好数”．在与 $2$ 的正整数次幂相邻的正整数中，试找出所有的“好数”． 2022-04-17 20:40:34
24217 597858c4fcb2360008eabe91 高中 解答题 自招竞赛 如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$PB=PC$，$\angle APB=\angle APC=90^{\circ}$，$\angle BPC=60^{\circ}$．若此三棱锥的体积为定值 $V$，求点 $P$ 到平面 $ABC$ 距离的最大值． 2022-04-17 20:39:34
24216 597858c4fcb2360008eabe92 高中 解答题 自招竞赛 已知 $F_1$，$F_2$ 是椭圆 $\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点，弦 $AB$ 经过点 $F_2$ 且 $|AF_2|=2|F_2B|$，$\tan \angle AF_1B=\dfrac 34$． 2022-04-17 20:39:34
24215 597858c4fcb2360008eabe93 高中 解答题 自招竞赛 函数 $f(x)$ 对于任意实数 $x$，$y$，都有 $f(x+y)=f(x)+f(y)-3$，且当 $x>0$ 时，$f(x)<3$． 2022-04-17 20:38:34
24214 597858c4fcb2360008eabe95 高中 解答题 自招竞赛 某年级 $n$ 位同学参加语文和数学两门课的考试，每门课的考分从 $0$ 到 $100$ 分．假如考试的结果，没有两位同学的成绩是完全相同的（即至少有一门课的成绩不同）．另外，我们说“$A$ 比 $B$ 好”是指同学 $A$ 的语文和数学的考分均分别高于同学 $B$ 的语文和数学的考分．试问当 $n$ 最小为何值时，必存在三位同学，设为 $A$，$B$，$C$，有 $A$ 比 $B$ 好，$B$ 比 $C$ 好． 2022-04-17 20:37:34
24213 59794ae6fcb236000b022c6f 高中 解答题 自招竞赛 如图，四边形 $ABCD$ 内接于圆，$P$ 是 $AB$ 的中点，$PE\perp AD,PF\perp BC,PG\perp CD$，$M$ 是线段 $PG$ 和 $EF$ 的交点，求证：$ME=MF$． 2022-04-17 20:37:34
24212 597995410a41cd0007247135 高中 解答题 自招竞赛 如图，在凸四边形 $ABCD$ 中，$\angle ABC=\angle ADC$，$E$，$F$，$G$，$H$ 分别为 $AC$，$BD$，$AD$，$CD$ 的中点．求证： 2022-04-17 20:36:34
24211 597ad2d20a41cd0009ba43d9 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\{a_n\}$ 中，已知 $a_1\in (1,2)$，$a_{n+1}=a_n^3-3a_n^2+3a_n$，$n \in \mathbb N^*$，求证：$$(a_1-a_2)(a_3-1)+(a_2-a_3)(a_4-1)+\cdots +(a_n-a_{n+1})(a_{n+2}-1)<\dfrac 14.$$ 2022-04-17 20:36:34
24210 597ad3320a41cd00072471ae 高中 解答题 自招竞赛 圆心为 $I$ 的 $\triangle ABC$ 的内切圆分别切边 $AC$，$AB$ 于点 $E$，$F$．设 $M$ 为线段 $EF$ 上一点，证明：$\triangle MAB$ 与 $\triangle MAC$ 面积相等的充分必要条件是 $MI \perp BC$． 2022-04-17 20:36:34
24209 597ad91a0a41cd000ac58dc1 高中 解答题 自招竞赛 从双曲线 $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$ 的左焦点 $F$ 引圆 $x^2+y^2=9$ 的切线，切点为 $T$，延长 $FT$ 交双曲线右支于点 $P$．若 $M$ 为线段 $FP$ 的中点，$O$ 为坐标原点，求 $|MO|-|MT|$ 的值． 2022-04-17 20:35:34
24208 597ad91a0a41cd000ac58dc2 高中 解答题 自招竞赛 如图，已知 $\triangle ABC$ 的外接圆的直径为 $25$，三条边的长度都是正整数，圆心 $O$ 到边 $AB,BC$ 的距离也都是正整数，$AB>BC$，求 $\triangle ABC$ 三边的长度． 2022-04-17 20:35:34
24207 597addd4923066000751bbb7 高中 解答题 自招竞赛 如图，已知点 $O$ 为凸四边形 $ABCD$ 内的一点，$AO=OB$，$CO=OD$，$\angle AOB=\angle COD=120^\circ$，点 $E,F,G$ 分别是线段 $AB,BC,CD$ 的中点．求证：$\triangle EFG$ 为正三角形． 2022-04-17 20:34:34
24206 597ae71b923066000adc6499 高中 解答题 自招竞赛 是否存在一个二次函数 $f(x)$，使得对任意的正整数 $k$，当 $x=\underbrace{55\cdots 5}_{k\text{个}5}$ 时，都有 $f(x)=\underbrace{55\cdots 5}_{2k\text{个}5}$ 成立？请给出结论，并加以证明． 2022-04-17 20:33:34
24205 597ae71b923066000adc649a 高中 解答题 自招竞赛 设 $F$ 是抛物线 $y^{2}=4x$ 的焦点，$A,B$ 为抛物线上异于原点 $O$ 的两点，且满足 $\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}=0$．延长 $AF,BF$ 分别交抛物线于点 $C,D$（如图）．求四边形 $ABCD$ 面积的最小值． 2022-04-17 20:33:34
24204 597afd9ed05b900009165046 高中 解答题 自招竞赛 如图，$M,N$ 分别为锐角三角形 $\triangle{ABC}$（$\angle A<\angle B$）的外接圆 $\Gamma$ 上弧 $\widehat{BC},\widehat{AC}$ 的中点．过点 $C$ 作 $PC\parallel MN$ 交圆 $\Gamma$ 于 $P$ 点，$I$ 为 $\triangle{ABC}$ 的内心，连结 $PI$ 并延长交圆 $\Gamma$ 于 $T$． 2022-04-17 20:32:34
24203 597afd9ed05b900009165047 高中 解答题 高中习题 求证不等式：$$-1<\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{k}{k^2+1}\right)-\ln n\leqslant \dfrac 12,n=1,2,\cdots .$$ 2022-04-17 20:32:34
24202 597afd9ed05b900009165049 高中 解答题 自招竞赛 在非负数构成的 $3\times 9$ 数表$$P=\begin{bmatrix}x_{11}& x_{12}&x_{13}&x_{14}&x_{15}&x_{16}&x_{17}&x_{18}&x_{19}\\ x_{21}& x_{22}&x_{23}&x_{24}&x_{25}&x_{26}&x_{27}&x_{28}&x_{29}\\x_{31}& x_{32}&x_{33}&x_{34}&x_{35}&x_{36}&x_{37}&x_{38}&x_{39}\end{bmatrix}$$中每行的数互不相同，前 $6$ 列中每列的三数之和为 $1$，$x_{17}=x_{28}=x_{39}=0$，$x_{27},x_{37},x_{18},x_{38},x_{19},x_{29}$ 均大于 $1$．如果 $P$ 的前三列构成的数表$$S=\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}&x_{13}\\ x_{21}&x_{22}&x_{23}\\ x_{31}&x_{32}&x_{33}\end{bmatrix}$$满足下面的性质（$O$）：对于数表 $P$ 中的任意一列 $\begin{bmatrix}x_{1k}\\ x_{2k}\\x_{3k}\end{bmatrix}$（$k=1,2,\cdots ,9$）均存在某个 $i\in\{1,2,3\}$ 使得$$x_{ik}\leqslant u_i=\min\{x_{i1},x_{i2},x_{i3}\}.\cdots \text{ ① }$$求证： 2022-04-17 20:32:34
24201 597e80abd05b90000b5e304f 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=x\mathrm e^x-a\mathrm e^{x-1}$，且 $f'(1)=\mathrm e$． 2022-04-17 20:31:34
24200 597e827cd05b90000addb264 高中 解答题 高中习题 已知 $ax^2-4\ln (x-1)<1$ 对 $x\in [2,\mathrm e+1]$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围． 2022-04-17 20:31:34
24199 597e82b8d05b900009165096 高中 解答题 高中习题 在 $\triangle ABC$ 中，$D,E$ 是边 $BC$ 上的点，且 $BD=CE$，求证：$AB+AC>AD+AE$． 2022-04-17 20:30:34
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