已知函数 $f(x)=\ln(1+ax)-x^2$（$a>0$，$x\in(0,1]$）．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
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求函数 $f(x)$ 的单调区间；标注答案$f(x)$ 的单调增区间为 $\left(0,\dfrac{\sqrt{2a^2+1}-1}{2a}\right)$，单调减区间为 $\left(\dfrac{\sqrt{2a^2+1}-1}{2a},1\right)$解析对 $f(x)$ 进行求导\[\begin{split}f'(x)&=\dfrac a{1+ax}-2x\\&=\dfrac{-2ax^2-2x+a}{1+ax}.\end{split}\]由 $-2ax^2-2x+a=0$ 得$$x=\dfrac{-1\pm \sqrt{2a^2+1}}{2a}.$$因为 $a>0$，所以$$\dfrac{-1-\sqrt{2a^2+1}}{2a}<0 , \dfrac{-1+\sqrt{2a^2+1}}{2a}>0.$$又因为$$\dfrac{-1+\sqrt{2a^2+1}}{2a}=\dfrac{a}{\sqrt{2a^2+1}+1}<1,$$所以 $f(x)$ 的单调增区间为 $\left(0,\dfrac{\sqrt{2a^2+1}-1}{2a}\right)$，单调减区间为 $\left(\dfrac{\sqrt{2a^2+1}-1}{2a},1\right)$．
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若不等式 $\dfrac 1{n^2}+\lambda \geqslant \ln\left(1+\dfrac 2n\right)$ 对一切正整数 $n$ 恒成立，求实数 $\lambda$ 的取值范围．标注答案$\left[\ln 2 -\dfrac 14,+\infty \right)$解析不等式 $\dfrac 1{n^2}+\lambda \geqslant \ln\left(1+\dfrac 2n\right)$ 即为$$\lambda \geqslant \ln\left(1+\dfrac 2n\right)-\dfrac 1{n^2}.\cdots \text{ ① }$$令 $\dfrac 1n=x$，当 $x\in \mathbb N^*$ 时，$x\in (0,1]$，从而不等式 ① 即为$$\lambda \geqslant \ln(1+2x)-x^2.$$令 $g(x)=\ln(1+2x)-x^2$，$x\in(0,1]$．
因为当 $a=2$ 时，$$f(x)=g(x) , \dfrac{-1+\sqrt{2a^2+1}}{2a}=\dfrac 12,$$所以 $g(x)$ 在 $\left(0,\dfrac 12\right)$ 单调递增，在 $\left(\dfrac 12,1\right)$ 单调递减，故 $g(x)$ 在 $x=\dfrac 12$ 时，取得最大值，最大值为$$g\left(\dfrac 12\right)=\ln 2 -\dfrac 14.$$因此，对一切正整数 $n$，当 $n=2$ 时，$\ln\left(1+\dfrac 2n\right)-\dfrac 1{n^2}$ 取得最大值 $\ln 2-\dfrac 14$．
故实数 $\lambda$ 的取值范围是 $\left[\ln 2 -\dfrac 14,+\infty\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
