解方程组 $\begin{cases}x-y+z-w=2,\\x^2-y^2+z^2-w^2=6,\\x^3-y^3+z^3-w^3=20,\\x^4-y^4+z^4-w^4=66.\end{cases}$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(x,y,z,w)=(3,2,1,0),(3,0,1,2),(1,2,3,0),(1,0,3,2)$
【解析】
设 $p=x+z,q=xz$，则$$\begin{split}x^2+z^2&=p^2-2q,\\x^3+z^3&=p^3-3pq,\\x^4+z^4&=p^4-4p^2q+2q^2,\end{split}$$于是$$\begin{cases}p^2=x^2+z^2+2q,\\p^3=x^3+z^3+3pq,\\p^4=x^4+z^4+4p^2q-2q^2.\end{cases}$$类似的，设 $s=y+w,t=yw$．
由 $p=s+2$，得$$\begin{cases}p^2=s^2+4s+4,\\p^3=s^3+6s^2+12s+8,\\p^4=s^4+8s^3+24s^2+32s+16.\end{cases}$$将 $p^2,s^2,p^3,s^3,p^4,s^4$ 的表达式代入，并根据原方程组化简，得$$\begin{cases}q=t+2s-1,\\pq=st+2s^2+4s-4,\\2p^2q-q^2=2s^2t-t^2+4s^3+12s^2+16s-25,\end{cases}$$进而可得$$t=\dfrac s2-1 , q=\dfrac {5s}2-2,$$从而解得 $s=2$，进而$$t=0 , p=4 , q=3,$$于是$$(x,y,z,w)=(3,2,1,0),(3,0,1,2),(1,2,3,0),(1,0,3,2).$$
由 $p=s+2$，得$$\begin{cases}p^2=s^2+4s+4,\\p^3=s^3+6s^2+12s+8,\\p^4=s^4+8s^3+24s^2+32s+16.\end{cases}$$将 $p^2,s^2,p^3,s^3,p^4,s^4$ 的表达式代入，并根据原方程组化简，得$$\begin{cases}q=t+2s-1,\\pq=st+2s^2+4s-4,\\2p^2q-q^2=2s^2t-t^2+4s^3+12s^2+16s-25,\end{cases}$$进而可得$$t=\dfrac s2-1 , q=\dfrac {5s}2-2,$$从而解得 $s=2$，进而$$t=0 , p=4 , q=3,$$于是$$(x,y,z,w)=(3,2,1,0),(3,0,1,2),(1,2,3,0),(1,0,3,2).$$
答案
解析
备注
