设 $f(x)=-\dfrac 13 x^3+\dfrac 12 x^2+2ax$．当 $0<a<2$ 时，$f(x)$ 在 $[1,4]$ 上的最小值为 $-\dfrac{16}{3}$，求 $f(x)$ 在该区间上的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{10}3$
【解析】
根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=-x^2+2x+2a,$$于是$$\begin{split}&f(1)=2a+\dfrac 16,\\&f(4)=8a-\dfrac{40}3,\\&f'(1)=2a,\\&f'(4)=2a-12.\end{split}$$当 $0<a<2$ 时，有$$f'(1)>0 , f'(4)<0,$$于是函数 $f(x)$ 的最小值必然在在区间端点处取得，因此$$\min\left\{2a+\dfrac 16,8a-\dfrac{40}3\right\}=-\dfrac{16}3,$$解得 $a=1$，故$$f'(x)=-x^2+x+2,$$因此 $f(x)$ 在区间上的最大值为 $f(2)=\dfrac{10}3$．
答案
解析
备注
