在直角三角形 $ABC$ 中，已知斜边 $BC=a$．若长为 $2a$ 的线段 $PQ$ 以直角顶点 $A$ 为中点，则当 $\overrightarrow{PQ}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角为何值时，$\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{CQ}$ 的值最大？并求出这个最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
当 $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{CB}$ 时最大，此时最大值为 $0$
【解析】
不妨设$$AC=b , AB=c,$$则$$b^2+c^2=a^2.$$以点 $A$ 为坐标原点，以 $AC,AB$ 所在直线为 $x$ 轴，$y$ 轴建立直角坐标系．
设 $PQ$ 与 $AC$ 所成的角为 $\theta$．
因为$$C(b,0) , B(0,c) , Q(a\cos \theta, a\sin \theta) , P(-a\cos \theta, -a\sin \theta),$$所以$$\begin{split}\overrightarrow{BP}&=\left(-a\cos \theta,-a\sin \theta-c\right),\\\overrightarrow{CQ}&=\left(a\cos \theta-b,a\sin \theta\right),\end{split}$$于是$$\begin{split}\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}&=-a^2+ab\cos \theta-ac\sin \theta\\&=-a^2+a\cdot \sqrt {b^2+c^2}\sin (\theta+\varphi)\\&=a^2(\sin (\theta-\varphi)-1)\\&\leqslant 0,\end{split}$$其中 $\tan \varphi=-\dfrac bc$，当 $\sin (\theta+\varphi)=1$ 时等号成立．
因此 $\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{CQ}$ 的最大值为 $0$．
设 $PQ$ 与 $AC$ 所成的角为 $\theta$．
因为$$C(b,0) , B(0,c) , Q(a\cos \theta, a\sin \theta) , P(-a\cos \theta, -a\sin \theta),$$所以$$\begin{split}\overrightarrow{BP}&=\left(-a\cos \theta,-a\sin \theta-c\right),\\\overrightarrow{CQ}&=\left(a\cos \theta-b,a\sin \theta\right),\end{split}$$于是$$\begin{split}\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}&=-a^2+ab\cos \theta-ac\sin \theta\\&=-a^2+a\cdot \sqrt {b^2+c^2}\sin (\theta+\varphi)\\&=a^2(\sin (\theta-\varphi)-1)\\&\leqslant 0,\end{split}$$其中 $\tan \varphi=-\dfrac bc$，当 $\sin (\theta+\varphi)=1$ 时等号成立．
因此 $\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{CQ}$ 的最大值为 $0$．
答案
解析
备注
