题目 在扇形 $AOB$ 中，$OA=OB=1$，$\angle AOB=\dfrac{\pi}3$，$C$ 为弧 $AB$（不包含端点）上的一点，且 $\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$． 问题1 求 $x+y$ 的取值范围； 答案1 $\left(1,\dfrac{2\sqrt 3}3\right]$ 解析1 以 $O$ 点为坐标原点，以 $OB$ 所在直线为 $x$ 轴建立直角坐标系，则 $B(1,0)$，$A\left(\dfrac 12,\dfrac {\sqrt 3}{2}\right)$．<br/>设 $C(\cos \theta,\sin \theta)$，其中 $\theta \in \left(0,\dfrac {\pi}{3}\right)$．<br/>由题意知$$\cos \theta=\dfrac 12x+y , \sin \theta=\dfrac {\sqrt 3}{2}x,$$所以$$x=\dfrac {2\sqrt 3}{3}\sin \theta , y=\cos \theta-\dfrac {\sqrt 3}{3}\sin \theta,$$故$$\begin{split}x+y&=\cos \theta+\dfrac {\sqrt 3}{3}\sin \theta\\&=\dfrac {2\sqrt 3}{3}\sin\left(\theta+\dfrac {\pi}{3}\right),\end{split}$$又 $\theta \in \left(0,\dfrac {\pi}{3}\right)$，所以 $x+y$ 的取值范围是 $\left (1,\dfrac {2\sqrt 3}{3}\right]$． 备注1 问题2 若 $t=x+\lambda y$ 存在最大值，求 $\lambda$ 的取值范围． 答案2 $\left(\dfrac 12,2\right)$ 解析2 由 $(1)$ 知，$$x=\dfrac {2\sqrt 3}{3}\sin \theta , y=\cos \theta-\dfrac {\sqrt 3}{3}\sin \theta,$$所以$$\begin{split}t&=x+\lambda y\\&=\dfrac {2\sqrt 3}{3}\sin \theta+\lambda \left(\cos \theta-\dfrac {\sqrt 3}{3}\sin \theta\right)\\&=\dfrac {2\sqrt 3}{3}\sqrt {\lambda^2-\lambda+1}\sin (\theta+\varphi),\end{split}$$其中 $\tan \varphi =\dfrac {\sqrt 3\lambda}{2-\lambda}$，且 $\varphi\in\left(0,\dfrac {\pi}{2}\right)$．<br/>为使 $\lambda$ 取得最大值，必须令$$\theta+\varphi=\dfrac {\pi}{2}$$成立．<br/>因为 $\theta\in \left(0,\dfrac {\pi}{3}\right)$，所以 $\varphi\in \left(\dfrac {\pi}{6},\dfrac {\pi}{2}\right)$，故$$\tan \varphi>\dfrac {\sqrt 3}{3},$$解得 $\dfrac 12<\lambda<2$． 备注2