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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
24298 5966eb360303980008983d07 高中 解答题 高中习题 求证： 2022-04-17 20:26:35
24297 5966f5440303980008983d4b 高中 解答题 自招竞赛 令 $a_n$ 表示前 $n$ 个质数的和（如 $a_1=2$，$a_2=2+3=5$，$a_3=2+3+5=10$）． 2022-04-17 20:26:35
24296 5966fe850303980008983d62 高中 解答题 自招竞赛 如图，在锐角三角形 $ABC$ 中，$\angle BAC \neq 60^{\circ}$，过点 $B$，$C$ 分别作三角形 $ABC$ 的外接圆的切线 $BD$，$CE$，且满足 $BD=CE=BC$．直线 $DE$ 与 $AB$，$AC$ 的延长线分别交于点 $F$，$G$．设 $CF$ 与 $BD$ 交于点 $M$，$CE$ 与 $BG$ 交于点 $N$．证明：$AM=AN$． 2022-04-17 20:25:35
24295 59673559030398000bbee86b 高中 解答题 自招竞赛 如图：四棱锥 $P-ABCD$，$PA \perp \text{平面}ABCD$，且 $PA=4$，底面 $ABCD$ 为直角梯形，$\angle CDA=\angle BAD=90^{\circ}$，$AB=2$，$CD=1$，$AD=\sqrt 2$，$M$，$N$ 分别为 $PD$，$PB$ 的中点，平面 $MCN$ 与 $PA$ 交点为 $Q$． 2022-04-17 20:25:35
24294 59673559030398000bbee86d 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $C$ 过点 $M(2,1)$，两个焦点分别为 $(-\sqrt 6,0)$，$(\sqrt 6,0)$．$O$ 为坐标原点，平行于 $OM$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于不同的两点 $A$，$B$． 2022-04-17 20:24:35
24293 59673559030398000bbee86e 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=\dfrac 12mx^2-2x+1+\ln (x+1)$（$m \geqslant 1$）． 2022-04-17 20:23:35
24292 59683a89030398000abf1616 高中 解答题 自招竞赛 $M$ 是正三角形 $A_1A_2A_3$ 的中心，$N$ 是其所在平面上的任意一点，以 $MN$ 为直径的圆分别交直线 $MA_i$ 于 $B_i$，$i=1,2,3$．证明：$$MB_1^2+MB_2^2+MB_3^2=NB_1^2+NB_2^2+NB_3^2.$$ 2022-04-17 20:22:35
24291 59683a89030398000abf1617 高中 解答题 自招竞赛 设 $x_i \geqslant 0$，$i=1,2,\cdots,n$，约定 $x_{n+1}=x_1$，证明：$$\sum \limits_{k=1}^{n}\sqrt {\dfrac {1}{(x_k+1)^2}+\dfrac {x_{k+1}^2}{(x_{k+1}+1)^2}}\geqslant \dfrac {n}{\sqrt 2}.$$ 2022-04-17 20:22:35
24290 59685e4222d14000072f84e8 高中 解答题 自招竞赛 如图，平面 $m\parallel$ 平面 $n$，线段 $AD$ 分别交 $m$ 和 $n$ 于点 $B$ 和 $C$，过点 $A$ 的另一直线分别交 $m$ 和 $n$ 于点 $M$ 和点 $P$，过点 $D$ 的另一直线分别交 $m$ 和 $n$ 于点 $N$ 和点 $Q$．已知 $\dfrac{S_{\triangle{BMN}}}{S_{\triangle{CPQ}}}=\dfrac 32$，求 $\dfrac{AD}{CD}$ 的最小值． 2022-04-17 20:21:35
24289 59686e2e22d14000081815ed 高中 解答题 自招竞赛 设递增数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1,4a_{n+1}=5a_n+\sqrt{9a^2_n+16}(n\geqslant1,n\in\mathbb N^*)$． 2022-04-17 20:21:35
24288 59687a6022d140000ac07eda 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 为等差数列，且 $a_2=5$，$a_8=23$．数列 $\{b_n\}$ 是各项均为整数的等比数列，$b_1=2$，且对任意正整数 $s,t$ 都有 $b_{s+t}=b_s\cdot b_t$ 成立． 2022-04-17 20:20:35
24287 59687ff322d14000072f852e 高中 解答题 自招竞赛 如图，已知四棱锥 $E-ABCD$ 的底面为菱形，且 $\angle ABC=60^\circ$，$AB=EC=2$，$AE=BE=\sqrt2$． 2022-04-17 20:20:35
24286 5968823c22d1400008181635 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$，直线 $l$ 不过原点 $O$ 且不平行于坐标轴，$l$ 与 $C$ 有两个交点 $A,B$，线段 $AB$ 的中点为 $M$．证明： 2022-04-17 20:19:35
24285 5968823c22d1400008181636 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}$ 都是不等于 $0$ 的数（$m\geqslant 2$），且对于任意整数 $k$，$k=0,1,2,\cdots,n(n<m-1)$，都有\[a_{1}+2^{k}a_{2}+\cdots+m^{k}a_{m}=0,\]证明数列 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}$ 中至少存在 $n+1$ 对相邻的数符号相反． 2022-04-17 20:18:35
24284 5968827922d140000818164c 高中 解答题 自招竞赛 已知正项数列 $\{a_n\}$ 满足 $\sqrt{a_na_{n+1}+a_na_{n+2}}=4\sqrt{a_na_{n+1}+a_{n+1}^2}+3\sqrt{a_na_{n+1}^2}$，且 $a_1=1,a_2=8$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式． 2022-04-17 20:18:35
24283 596882f122d14000091d723d 高中 解答题 自招竞赛 如图，点 $H$ 为 $\triangle ABC$ 的垂心，以 $AB$ 为直径的 $\odot O_{1}$ 和 $\triangle BCH$ 的外接圆 $\odot O_{2}$ 相交于点 $D$，延长 $AD$ 交 $CH$ 于点 $P$，求证：点 $P$ 为 $CH$ 的中点． 2022-04-17 20:17:35
24282 596882f122d14000091d723e 高中 解答题 自招竞赛 已知抛物线 $C:y^{2}=4x$，以 $M(1,2)$ 为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形 $MAB$． 2022-04-17 20:17:35
24281 5968835722d140000ac07f0b 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$，经过点 $P\left(3,\dfrac{16}{5}\right)$，离心率为 $\dfrac{3}{5}$．过椭圆 $C$ 的右焦点作斜率为 $k$ 的直线 $l$，交椭圆于 $A,B$ 两点，记 $PA,PB$ 的斜率为 $k_{1},k_{2}$． 2022-04-17 20:16:35
24280 596883d822d140000ac07f2f 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\{a_{n}\}$ 满足\[a_{1}=1, a_{n+1}=\dfrac{(n+1)\cdot a_{n}^{2}}{2a_{n}^{2}+4na_{n}+n^{2}},\]求 $\{a_{n}\}$ 的通项． 2022-04-17 20:16:35
24279 596883d822d140000ac07f30 高中 解答题 自招竞赛 已知双曲线 $x^{2}-y^{2}=2$ 的左、右焦点分别为点 $F_{1},F_{2}$，过定点 $P(2,3)$ 作双曲线 $x^{2}-y^{2}=2$ 的切线，切点分别为 $A,B$，且点 $A$ 的横坐标小于点 $B$ 的横坐标． 2022-04-17 20:15:35
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