已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_2=6$，$4a_{n-1}+a_{n+1}=4a_n$（$n \geqslant 2$）．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛贵州省预赛
【标注】
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求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；标注答案$a_n=(2n-1)\cdot 2^{n-1}$解析因为$$\begin{split}&a_1=1 , a_2=6,\\&4a_{n-1}+a_{n+1}=4a_n,(n \geqslant 2)\end{split}$$所以$$a_{n+1}-2a_n=2(a_{n}-2a_{n-1}) \land a_2-2a_1=4,$$于是$$a_{n+1}-2a_n=4\cdot 2^{n-1},$$即$$\dfrac {a_{n+1}}{2^{n+1}}-\dfrac {a_n}{2^n}=1,$$从而$$\dfrac {a_n}{2^n}=\dfrac 12+(n-1)\cdot 1=n-\dfrac 12,$$因此 $a_n=(2n-1)\cdot 2^{n-1}$．
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求数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$．标注答案$S_n=( 2n-3)\cdot 2^{n}+3$（$n \in \mathbb N^*$）解析由 $(1)$ 知：$$S_n=1+3\cdot 2+5\cdot 2^2+\cdots +(2n-3)\cdot 2^{n-2}+(2n-1)\cdot 2^{n-1},\quad \cdots \cdots \text{ ① }$$① $\times 2$ 得$$2S_n=2+3\cdot 2^2+5\cdot 2^3+\cdots +(2n-3)\cdot 2^{n-1}+(2n-1)\cdot 2^{n},\quad \cdots \cdots \text{ ② }$$① $-$ ② 得\[\begin{split}-S_n&=1+2\cdot 2+2\cdot 2^2+\cdots +2\cdot 2^{n-1}-(2n-1)\cdot 2^{n} \\&=1+\dfrac {2^2(1-2^{n-1})}{1-2}-(2n-1)\cdot 2^{n}\\&=(3-2n)\cdot 2^{n}-3,\end{split}\]故$$S_n=( 2n-3)\cdot 2^{n}+3,$$即$$S_n=( 2n-3)\cdot 2^{n}+3(n \in \mathbb N^*).$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
