已知椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}(a>b>0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt3}{2}$，右焦点为圆 $C_2:\left(x-\sqrt3\right)^2+y^2=7$ 的圆心．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
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求椭圆 $C_1$ 的方程；标注答案$\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$解析设椭圆 $C_1$ 的半焦距长为 $c$，则$$c=\sqrt3 , \dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt3}{2},$$解得 $a=2,b=1$，所以椭圆 $C_1$ 的方程为$$\dfrac{x^2}{4}+y^2=1.$$
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若直线 $l$ 与曲线 $C_1,C_2$ 都只有一个公共点，记直线 $l$ 与圆 $C_2$ 的公共点为 $A$，求点 $A$ 的坐标．标注答案$(0,2),(0,-2)$解析当直线 $l$ 的斜率不存在时，显然不满足题意．
当直线 $l$ 的斜率存在时，可设直线 $l$ 的方程为 $y=kx+m$，点 $A$ 的坐标为 $(x_A,y_A)$．
将直线方程与椭圆方程联立，消去 $y$ 得$$(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0,\qquad\cdots\cdots\text{ ① }$$所以$$\Delta_1=16(4k^2-m^2+1)=0,$$即$$4k^2-m^2+1=0.\qquad\cdots\cdots\text{ ② }$$联立方程$$\begin{cases}\left(x-\sqrt3\right)^2+y^2=7,\\y=kx+m,\end{cases}$$消去 $y$ 得$$(1+k^2)x^2+2(km-\sqrt3)x+m^2-4=0,\qquad\cdots\cdots\text{ ③ }$$所以$$\Delta_2=4(4k^2-m^2-2\sqrt3mk+7)=0,$$即$$4k^2-m^2-2\sqrt3mk+7=0.\qquad\cdots\cdots\text{ ④ }$$由 $\text{ ② }-\text{ ④ }$ 得$$km=\sqrt3,\qquad\cdots\cdots\text{ ⑤ }$$将 $\text{ ⑤ }$ 代入 $\text{ ③ }$ 得$$x_A=-\dfrac{km-\sqrt3}{1+k^2}=0,\qquad\cdots\cdots\text{ ⑥ }$$将 $\text{ ⑥ }$ 代入圆$$C_2:\left(x-\sqrt3\right)^2+y^2=7,$$得 $y_A=\pm2$．
经检验 $A(0,2)$ 或 $A(0,-2)$ 符合题意．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
