题目 设 $(x+1)^p\cdot (x-3)^q=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots +a_{n-1}x+a_n$，$p,q\in \mathbb N^*$． 问题1 若 $a_1=a_2$，求证：$3n$ 是完全平方数； 答案1 略 解析1 易知 $p+q=n$．<br/>因为\[\begin{split}&(x+1)^p\cdot (x-3)^q\\=&\left[x^n+px^{p-1}+\dfrac{p(p-1)}{2}x^{p-2}+\cdots \right]\cdot \left[x^q-3qx^{q-1}+\dfrac{9q(q-1)}{2}x^{q-2}+\cdots \right]\\=&x^n+(p-3q)x^{n-1}+\left[\dfrac{p(p-1)}{2}+\dfrac{9q(q-1)}{2}-3pq\right]x^{n-2}+\cdots,\end{split}\]所以$$a_1=p-3q , a_2=\dfrac{p(p-1)}{2}+\dfrac{9q(q-1)}{2}-3pq.$$又 $a_1=a_2$，所以$$2(p-3q)=p(p-1)+9q(q-1)-6pq,$$即$$2(p-3q)=(p-3q)^2-p-9q,$$故$$3(p+q)=(p-3q)^2.$$因此 $3n=(p-3q)^2$ 为完全平方数． 备注1 问题2 证明：存在无穷多个正整数对 $(p,q)$，使得 $a_1=a_2$． 答案2 略 解析2 $a_1=a_2$ 等价于$$3(p+q)=(p-3q)^2,$$即$$p^2-(6p+3)p+9q^2-3q=0.$$因此，只需证明上述方程有无穷多组正整数解即可，所以$$\Delta =(6q+3)^2-4(9q^2-3q)=48q+9$$是完全平方数，且$$p=\dfrac{6q+3+\sqrt{\Delta}}{2}$$是正整数．<br/>取 $48q+9=9(8k+1)^2$，$k\in \mathbb N^*$，则有$$(p,q)=(36k^2+21k+3,12k^2+3k).$$由于 $k$ 为任意正整数，所以存在无穷多组正整数 $(p,q)$，使得 $a_1=a_2$． 备注2