2009年全国高中数学联赛四川省预赛

略

由条件知$$9=a^2+b^2+c^2\geqslant 3a^2,$$故 $a\leqslant \sqrt 3$．
又由$$(c^2-a^2)(b^2-a^2)\geqslant 0,$$知$$bc\geqslant a\sqrt{b^2+c^2-a^2}=a\sqrt{9-2a^2},$$所以只需证$$a^2\sqrt{9-2a^2}+1>3a.$$情形一 当 $0<a\leqslant 1$ 时，$$\sqrt{9-2a^2}\geqslant \sqrt 7 >\dfrac 94,$$于是$$4a^2\sqrt{9-2a^2}>9a^2,$$从而$$(a^2\sqrt{9-2a^2}+1)^2\geqslant 4a^2 \sqrt{9-2a^2}>9a^2,$$所以 $a^2\sqrt{9-2a^2}+1>3a$ 成立．
情形二 当 $1<a\leqslant \sqrt 3$ 时，只需证$$a^4(9-2a^2)\geqslant (3a-1)^2,$$即证$$2a^6-9a^4+9a^2-6a+1<0.$$因为\[\begin{split}&2a^6-9a^4+9a^2-6a+1\\<&2a^6-9a^4+9a^2-5\\=&(2a^2-1)(a^2-1)(a^2-3)-(a^2+2),\end{split}\]又 $1<a\leqslant \sqrt 3$ 时，有$$2a^2-1>0 , a^2-1>0 , a^2-3<0 , a^2+2>0,$$所以$$2a^6-9a^4+9a^2-6a+1<0.$$综上知，$abc+1>3a$ 成立．