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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27418 590a838e6cddca00078f3808 高中 解答题 高中习题 设非负实数 $a,b,c$ 都满足 $a^2+b^2+c^2+abc=4$，求证：$0\leqslant ab+bc+ca-abc\leqslant 2$． 2022-04-17 21:03:04
27417 590a8d5c6cddca00078f3823 高中 解答题 高中习题 求证：$x-\ln x-\dfrac{\ln x}x-\dfrac 12>0$． 2022-04-17 21:02:04
27416 590a8e3a6cddca00078f3830 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b\in\mathbb R$，关于 $x$ 的方程 $x^4+ax^3+2x^2+bx+1=0$ 有一个实根，求 $a^2+b^2$ 的最小值． 2022-04-17 21:02:04
27415 590a8e5a6cddca00092f6ea3 高中 解答题 高中习题 给定正实数 $x_1,y_1,z_1$，定义数列 $\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}$ 如下：$$x_{n+1}=y_n+\dfrac 1{z_n},y_{n+1}=z_n+\dfrac{1}{x_n},z_{n+1}=x_n+\dfrac 1{y_n},$$求证：$x_{200},y_{200},z_{200}$ 中至少有一个数大于 $20$． 2022-04-17 21:02:04
27414 590a8e796cddca000a081887 高中 解答题 高中习题 已知实数 $a,b,c$ 和正实数 $\lambda$ 使得 $x^3+ax^2+bx+c=0$ 有三个实根 $x_1,x_2,x_3$，且满足 $x_2-x_1=\lambda$，$x_3>\dfrac{x_1+x_2}2$，求证：$\dfrac{2a^3+27c-9ab}{\lambda^3}\leqslant \dfrac{3\sqrt 3}2$． 2022-04-17 21:01:04
27413 590a8ef86cddca00092f6eae 高中 解答题 自招竞赛 设正数 $a,b,c$ 满足 $ab+bc+ca=1$，求 $\dfrac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}$ 的取值范围． 2022-04-17 21:00:04
27412 590a8f216cddca00092f6eb2 高中 解答题 自招竞赛 过椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点 $F$ 作两条相互垂直的弦 $AB,CD$，证明：$A,B,C,D$ 四点共圆当且仅当 $|AB|=|CD|$． 2022-04-17 21:00:04
27411 590a902e6cddca000a08189a 高中 解答题 高中习题 已知直线 $x_{0}x+y_{0}y=r^{2}$，其中 $x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=r^{2}(r>0)$．求该直线被椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 截得的弦长的最大值． 2022-04-17 21:59:03
27410 590a919b6cddca00078f3853 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a,b,c>0$，$a+b+c=3$，求证：$\dfrac{a^2}{a+\sqrt{bc}}+\dfrac{b^2}{b+\sqrt{ca}}+\dfrac{c^2}{c+\sqrt{ab}}\geqslant \dfrac 32$． 2022-04-17 21:58:03
27409 590a91f86cddca0008610d64 高中 解答题 高中习题 已知椭圆 $C:\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 的左顶点为 $A$，上顶点为 $P$，椭圆 $C$ 上是否存在一点 $T$，使得 $\triangle TPA$ 的面积为 $1$，若存在求出点 $T$ 的坐标，若不存在，说明理由． 2022-04-17 21:58:03
27408 590a92296cddca00078f3857 高中 解答题 高中习题 已知 $\triangle ABC$ 中，$A:B:C=1:3:9$，求 $\cos A+\cos B+\cos C$． 2022-04-17 21:57:03
27407 590a925a6cddca0008610d6d 高中 解答题 高中习题 如图，$P$ 和 $AB$ 是抛物线 $C$ 的一对极点和极线，$Q$ 是抛物线 $C$ 上异于 $A,B$ 的任一点，过 $Q$ 作抛物线 $C$ 的切线分别交直线 $PA,PB$ 于 $D,E$，则 $\dfrac{S_{\triangle QAB}}{S_{\triangle PDE}}=2$． 2022-04-17 21:57:03
27406 590a926a6cddca0008610d70 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=x^2-2x+\sin\dfrac{\pi}2x$，$x\in (0,1)$．记 $f(x)$ 的极小值点为 $x_0$，若 $f(x_1)=f(x_2)$，且 $x_1<x_2$，求证：$x_1+x_2>2x_0$． 2022-04-17 21:56:03
27405 590a932d6cddca00092f6ed3 高中 解答题 高中习题 若直线 $l$ 与椭圆 $C_{1}:\dfrac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 和抛物线 $C_{2}:y^{2}=4x$ 均相切，求直线 $l$ 的方程． 2022-04-17 21:55:03
27404 590a93dd6cddca000a0818c7 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c\geqslant 0$，且 $a+b+c=1$，求证：$5\left(a^2+b^2+c^2\right)+18abc\geqslant \dfrac 73$． 2022-04-17 21:54:03
27403 590a94136cddca00078f386c 高中 解答题 高中习题 求证：$\left({\rm e}^1+{\rm e}^{-1}\right)\left({\rm e}^2+{\rm e}^{-2}\right)\cdots \left({\rm e}^n+{\rm e}^{-n}\right)>\left({\rm e}^{n+1}+2\right)^{\frac n2}$． 2022-04-17 21:53:03
27402 590a94306cddca00092f6edc 高中 解答题 高考真题 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2}= 1\left(a > b > 0\right)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}{2}$，直线 $y = x$ 被椭圆 $C$ 截得的线段长为 $\dfrac{{4\sqrt{10}}}{5}$． 2022-04-17 21:53:03
27401 590a95b86cddca00092f6eea 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c$ 是 $\triangle ABC$ 的三条边长，且 $a^2+2b^2+3c^2=1$，求 $\triangle ABC$ 面积的最大值． 2022-04-17 21:52:03
27400 590a99706cddca00092f6f01 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c>0$，且 $abc+a+c=b$，求 $m=\dfrac{2}{a^2+1}-\dfrac{2}{b^2+1}+\dfrac{3}{c^2+1}$ 的最大值． 2022-04-17 21:52:03
27399 590a998a6cddca000a0818e9 高中 解答题 高中习题 已知 $A,B,C$ 是 $\triangle ABC$ 的三个内角，求证：$$\left(\csc\dfrac A2+\csc\dfrac B2+\csc\dfrac C2\right)^2\geqslant 9+\left(\cot\dfrac A2+\cot\dfrac B2+\cot\dfrac C2\right)^2,$$并指明等号取得的条件． 2022-04-17 21:52:03
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