在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2}= 1\left(a > b > 0\right)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}{2}$，直线 $y = x$ 被椭圆 $C$ 截得的线段长为 $\dfrac{{4\sqrt{10}}}{5}$．
【难度】
【出处】
2014年高考山东卷（文）
【标注】
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求椭圆 $C$ 的方程；标注答案椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$解析直线 $y=x$ 被椭圆 $C$ 截得的线段长为 $\dfrac{4\sqrt{10}}5$，因此椭圆 $C$ 过点 $\left(\dfrac{2\sqrt 5}5,\dfrac{2\sqrt 5}5\right)$，因此有$$\dfrac 1{a^2}\cdot\left(\dfrac{2\sqrt 5}5\right)^2+\dfrac{1}{b^2}\cdot\left(\dfrac{2\sqrt 5}5\right)^2=1,$$又由椭圆的离心率 $e=\dfrac ca=\dfrac{\sqrt 3}2$，可得 $a^2=4b^2$，因此可以解得 $a^2=4$，$b^2=1$，所以椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$．
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过原点的直线与椭圆 $C$ 交于 $A,B$ 两点（$A,B$ 不是椭圆 $C$ 的顶点）．点 $D$ 在椭圆 $C$ 上，且 $AD \perp AB$，直线 $BD$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于 $M,N$ 两点．
（i）设直线 $BD,AM$ 的斜率分别为 ${k_1},{k_2}$，证明：存在常数 $\lambda$ 使得 ${k_1}= \lambda{k_2}$，并求出 $\lambda$ 的值；
（ii）求 $\triangle OMN$ 面积的最大值．标注答案略解析（i）如图，设直线 $AB,AD$ 的斜率分别为 $k,k_3$，$A(x_0,kx_0)$，$B(-x_0,-kx_0)$，$D(x_1,y_1)$．
点 $A,D$ 在椭圆上，于是$$\dfrac{x_0^2}4+(kx_0)^2=1,\dfrac{x_1^2}4+y_1^2=1,$$两式相减，变形得$$\dfrac{y_1-kx_0}{x_1-x_0}\cdot\dfrac{y_1-(-kx_0)}{x_1-(-x_0)}=-\dfrac 14,$$即$$k_3\cdot k_1=-\dfrac 14.$$从而直线 $AB,AD,BD$ 的斜率分别为 $k,-\dfrac 1k,\dfrac k4$，进而直线 $BD$ 的方程为$$y=\dfrac k4(x+x_0)-kx_0,$$可以解得 $M(3x_0,0)$，$N\left(0,-\dfrac 34kx_0\right)$．
因此直线 $AM$ 的斜率 $k_2=\dfrac{kx_0-0}{x_0-3x_0}=-\dfrac k2$，从而 $\lambda=\dfrac{k_1}{k_2}=-\dfrac 12$．
（ii）三角形 $OMN$ 的面积$$S=\left|\dfrac 12\cdot 3x_0\cdot\left(-\dfrac 34kx_0\right)\right|=\dfrac 98\cdot x_0^2\cdot |k|,$$又 $\dfrac{x_0^2}4+(kx_0)^2=1$，从而 $x_0^2=\dfrac{4}{4k^2+1}$，将其代入上式可得$$S=\dfrac 98\cdot\dfrac{4|k|}{4k^2+1}=\dfrac 98\cdot\dfrac{4}{4|k|+\dfrac{1}{|k|}}\leqslant \dfrac 98\cdot\dfrac 44=\dfrac 98,$$等号当且仅当 $|k|=\dfrac 12$ 时取得．因此 $\triangle OMN$ 面积的最大值为 $\dfrac 98$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
