已知 $a,b,c$ 是 $\triangle ABC$ 的三条边长，且 $a^2+2b^2+3c^2=1$，求 $\triangle ABC$ 面积的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt{11}}{44}$
【解析】
由三角形面积的三斜求积公式，有 $\triangle ABC$ 的面积\begin{eqnarray*}\begin{split} S&=\dfrac 14\sqrt{4b^2c^2-\left(b^2+c^2-a^2\right)^2}\\
&=\dfrac 14\sqrt{4b^2c^2-\left(3b^2+4c^2-1\right)^2}\\
&=\dfrac 14\sqrt{-9b^4-16c^4-20b^2c^2+6b^2+8c^2-1}\\
&=\dfrac 14\sqrt{-\left(3b^2+\dfrac{10}3c^2-1\right)^2+\left(\dfrac{10}3c^2-1\right)^2-16c^4+8c^2-1}\\
&=\dfrac 14\sqrt{-\left(3b^2+\dfrac{10}3c^2-1\right)^2-\dfrac{44}9\left(c^2-\dfrac 3{22}\right)^2+\dfrac{1}{11}}\\
&\leqslant \dfrac{1}{4\sqrt{11}}=\dfrac{\sqrt{11}}{44}
,\end{split} \end{eqnarray*}等号当 $c^2=\dfrac{3}{22}$，$b^2=\dfrac{2}{11}$，$a^2=\dfrac{5}{22}$ 时取得．于是 $\triangle ABC$ 面积的最大值为 $\dfrac{\sqrt{11}}{44}$．
&=\dfrac 14\sqrt{4b^2c^2-\left(3b^2+4c^2-1\right)^2}\\
&=\dfrac 14\sqrt{-9b^4-16c^4-20b^2c^2+6b^2+8c^2-1}\\
&=\dfrac 14\sqrt{-\left(3b^2+\dfrac{10}3c^2-1\right)^2+\left(\dfrac{10}3c^2-1\right)^2-16c^4+8c^2-1}\\
&=\dfrac 14\sqrt{-\left(3b^2+\dfrac{10}3c^2-1\right)^2-\dfrac{44}9\left(c^2-\dfrac 3{22}\right)^2+\dfrac{1}{11}}\\
&\leqslant \dfrac{1}{4\sqrt{11}}=\dfrac{\sqrt{11}}{44}
,\end{split} \end{eqnarray*}等号当 $c^2=\dfrac{3}{22}$，$b^2=\dfrac{2}{11}$，$a^2=\dfrac{5}{22}$ 时取得．于是 $\triangle ABC$ 面积的最大值为 $\dfrac{\sqrt{11}}{44}$．
答案
解析
备注
