已知 $a,b,c>0$，$a+b+c=3$，求证：$\dfrac{a^2}{a+\sqrt{bc}}+\dfrac{b^2}{b+\sqrt{ca}}+\dfrac{c^2}{c+\sqrt{ab}}\geqslant \dfrac 32$．
【难度】
【出处】
2016年中国科学技术大学自主招生试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由均值不等式，有$$LHS\geqslant \sum_{cyc}{\dfrac{2a^2}{2a+b+c}},$$再由柯西不等式，有$$\sum_{cyc}{\dfrac{2a^2}{2a+b+c}}\geqslant \dfrac{2(a+b+c)^2}{4(a+b+c)}=\dfrac 32,$$因此原不等式得证．
答案
解析
备注
