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设非负实数 $a,b,c$ 都满足 $a^2+b^2+c^2+abc=4$，求证：$0\leqslant ab+bc+ca-abc\leqslant 2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    代数变形
    >
    代数式的形
    >
    换元
    >
    三角换元
  • 题型
    >
    不等式
    >
    代数不等式的证明
  • 方法
    >
    代数处理
    >
    冻结变量法
【答案】
略
【解析】
不妨设 $a\leqslant b\leqslant c$．
左边不等式显然 $a\leqslant 1$，于是$$ab+bc+ca-abc\geqslant bc(1-a)\geqslant 0,$$因此左侧不等式得证．
右边不等式联想三角形中的恒等式$$\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C+2\cos A\cos B\cos C=1,$$于是可设 $a=2\cos A,b=2\cos B,c=2\cos C$，其中 $A,B,C\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right]$ 且 $A+B+C=\pi$．这样欲证明的不等式即$$\cos A\cos B+\cos B\cos C+\cos C\cos A-2\cos A\cos B\cos C\leqslant \dfrac 12.$$由于 $a\leqslant b\leqslant c$，因此 $A\geqslant B\geqslant C$，进而有 $A\geqslant \dfrac{\pi}3$，记上述不等式左边为 $M$，则$$M=\cos A\left(\cos B+\cos C\right)+\cos B\cos C\left(1-2\cos A\right),$$考虑到$$\cos B+\cos C=2\cos\dfrac{B+C}2\cos\dfrac{B-C}2\leqslant 2\sin\dfrac A2\leqslant \dfrac 12+2\sin^2\dfrac A2=\dfrac 32-\cos A,$$而$$\cos B\cos C=\dfrac 12\left[\cos(B+C)+\cos(B-C)\right]\leqslant \dfrac {1-\cos A}2,$$因此$$M\leqslant \cos A\left(\dfrac 32-\cos A\right)+\dfrac 12\left(1-\cos A\right)\left(1-2\cos A\right)=\dfrac 12,$$因此右侧不等式得证．
综上所述，原不等式得证．
答案 解析 备注
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