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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27438 59098e3938b6b4000adaa23c 高中 解答题 高中习题 已知 $x,y,z\in (0,1)$，求证：$x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1$． 2022-04-17 21:15:04
27437 59098e6b38b6b40008d7bb6b 高中 解答题 自招竞赛 已知 $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的奇函数，$f(1)=1$，且对任意 $x<0$，均有 $f\left(\dfrac x{x-1}\right)=xf(x)$．求\[f(1)f \left(\dfrac 1{100} \right )+f \left(\dfrac12 \right)f \left(\dfrac 1{99} \right)+f \left(\dfrac 13 \right )f \left(\dfrac 1{98} \right )+\cdots+f \left(\dfrac 1{50} \right)f \left(\dfrac 1{51} \right)\]的值． 2022-04-17 21:14:04
27436 59098f3838b6b400072dd203 高中 解答题 自招竞赛 设实数 $a_1,a_2,\cdots,a_{2016}$ 满足 $9a_i>11a_{i+1}^2(i=1,2,\cdots,2015)$．求$$\left(a_1-a_2^2\right)\cdot\left(a_2-a_3^2\right)\cdots(a_{2015}-a_{2016}^2)\cdot(a_{2016}-a_1^2)$$的最大值． 2022-04-17 21:14:04
27435 5909904c38b6b400072dd210 高中 解答题 自招竞赛 设 $p$ 与 $p+2$ 均是素数，$p>3$．数列 $\{a_n\}$ 定义为$$a_1=2,a_n=a_{n-1}+\left\lceil\dfrac{pa_{n-1}}n\right\rceil,n=2,3,\cdots.$$这里 $\left\lceil x\right\rceil$ 表示不小于实数 $x$ 的最小整数．证明：对 $n=3,4,\cdots,p-1$ 均有 $n\mid pa_{n-1}+1$ 成立． 2022-04-17 21:13:04
27434 590990d838b6b4000adaa25c 高中 解答题 高考真题 如图，已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-{y^2}= 1\left(a > 0\right)$ 的右焦点为 $F$．点 $A$，$B$ 分别在 $C$ 的两条渐近线上，$AF \perp x$ 轴，$AB \perp OB$，$BF\parallel OA$（$O$ 为坐标原点）． 2022-04-17 21:13:04
27433 5909933d38b6b400091efffc 高中 解答题 高中习题 已知直线 $l$ 经过 $l_1:2x+3y+1=0$ 与 $l_2:7x+8y+2=0$ 的交点，分别求满足下列条件的 $l$ 的方程． 2022-04-17 21:12:04
27432 5909943f38b6b400072dd229 高中 解答题 高中习题 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设 $\triangle ABC$ 的顶点分别为 $A(0,a)$，$B(b,0)$，$C(c,0)$，点 $P(0,p)$ 在线段 $AO$ 上（异于端点）．设 $a,b,c,p$ 为非零常数，设直线 $BP,CP$ 分别与边 $AC,AB$ 交于点 $E,F$，求证：$\angle EOA=\angle FOA$． 2022-04-17 21:12:04
27431 5909966438b6b400072dd237 高中 解答题 高中习题 求证：$\dfrac{\cos\alpha}{1+\sin \alpha}-\dfrac{\sin \alpha}{1+\cos\alpha}=\dfrac{2(\cos\alpha-\sin\alpha)}{1+\sin\alpha+\cos\alpha}$． 2022-04-17 21:11:04
27430 5909968638b6b40008d7bbb3 高中 解答题 高中习题 在广袤无垠的撒哈拉沙漠里，亚伯拉罕有 $4200$ 瓶水和一匹最多能驼 $1050$ 瓶水的骆驼，他打算将这批水运到 $800$ 公里以外的小镇去换一大笔钱．亚伯拉罕和他的骆驼每在沙漠中行进一公里需要消耗 $1$ 瓶水，那么他最多可以成功的将多少瓶水运送到小镇去（相信我，这些水是如此的珍贵以至于亚伯拉罕可以用这些水以及他的那匹骆驼交换到一架豪华直升飞机回家，因此不需要考虑留下足够多的回程用水）？注：亚伯拉罕有以下技能：真·骆驼驾驭术，寻路术，国际扛饿大品牌·喝水就够术，真·物品藏匿术，真·奸商忽悠术． 2022-04-17 21:10:04
27429 5909974438b6b400072dd243 高中 解答题 高中习题 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知 $P\left(1,\dfrac 32\right)$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}3=1$ 上一点，直线 $l$ 过椭圆 $C$ 的右焦点，且与椭圆相交于 $A,B$ 两点，求 $\triangle ABP$ 三边所在的直线的斜率乘积的最大值． 2022-04-17 21:09:04
27428 59099c8038b6b4000adaa2ae 高中 解答题 高中习题 已知圆 $C:x^2+y^2-2x-2y+1=0$，直线 $l:y=kx$，点 $M(0,b)$．直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $P,Q$ 两点，且 $MP\perp MQ$． 2022-04-17 21:09:04
27427 59099d3b38b6b40008d7bbe4 高中 解答题 高中习题 函数 $y=x^2+ax+b$ 与坐标轴交于三个不同的点 $A,B,C$，已知 $\triangle ABC$ 的外接圆 $P$． 2022-04-17 21:08:04
27426 59099dfd38b6b4000adaa2c0 高中 解答题 高中习题 已知 $x,y\in\mathbb R$，则 $\max\{x^2+xy+x,4y^2+xy+2y\}$ 的最小值是 ． 2022-04-17 21:08:04
27425 5909eaf76cddca00092f6e1b 高中 解答题 高中习题 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），$AB,CD$ 是过椭圆左焦点 $F$ 的弦，且 $AB\perp CD$． 2022-04-17 21:07:04
27424 5909ef246cddca00092f6e21 高中 解答题 高中习题 用双曲线的第一定义证明反比例函数 $y=\dfrac{1}{x}$ 的图象是双曲线． 2022-04-17 21:07:04
27423 5909fa176cddca000a08180b 高中 解答题 高中习题 已知过双曲线 $E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的焦点 $F$ 的直线被双曲线 $E$ 截得的弦 $AB$ 长为 $l$，根据 $l$ 的大小讨论满足题意的直线条数． 2022-04-17 21:06:04
27422 5909fb7c6cddca000a08180f 高中 解答题 高中习题 已知抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）的焦点 $F$ 和过焦点 $F$ 的弦 $AB$． 2022-04-17 21:06:04
27421 5909fbf66cddca00092f6e2b 高中 解答题 高中习题 已知抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）的焦点 $F$ 和过焦点 $F$ 的弦 $AB$，过 $A,B$ 分别作抛物线的准线 $l$ 的垂线，垂足分别为 $D,C$． 2022-04-17 21:05:04
27420 5909fc576cddca00092f6e2f 高中 解答题 高中习题 利用抛物线的定义证明二次函数 $y=ax^2+bx+c$（$a\ne 0$）的图象是抛物线，并指出其焦点坐标和准线方程． 2022-04-17 21:04:04
27419 590a7bee6cddca0008610cde 高中 解答题 高考真题 圆 ${x^2}+{y^2}= 4$ 的切线与 $x$ 轴正半轴，$y$ 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 $P$（如图）． 2022-04-17 21:03:04
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