已知实数 $a,b,c$ 和正实数 $\lambda$ 使得 $x^3+ax^2+bx+c=0$ 有三个实根 $x_1,x_2,x_3$，且满足 $x_2-x_1=\lambda$，$x_3>\dfrac{x_1+x_2}2$，求证：$\dfrac{2a^3+27c-9ab}{\lambda^3}\leqslant \dfrac{3\sqrt 3}2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，设 $x_1=t\lambda$，$x_2=(1+t)\lambda$，$x_3=\left(t+\dfrac 12+m\right)\lambda$，由三次方程的韦达定理可得\begin{eqnarray*}\begin{split} a&=-\left(x_1+x_2+x_3\right)=-\left(3t+\dfrac 32+m\right)\lambda,\\
b&=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\left[3t^2+(3+2m)t+\dfrac 12+m\right]\lambda^{2},\\
c&=-x_1x_2x_3=-\left[t^3+\left(\dfrac 32+m\right)t^2+\left(\dfrac 12+m\right)t\right]\lambda^{3},\end{split} \end{eqnarray*}于是$$\dfrac{2a^3+27c-9ab}{\lambda^3}=-2m^3+\dfrac 92m=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{4m^2\cdot\left(\dfrac 92-2m^2\right)\cdot\left(\dfrac 92-2m^2\right)}\leqslant \dfrac12\sqrt{3^{3}}=\dfrac 32\sqrt 3,$$当 $m^{2}=\dfrac 34$ 时等号成立，原命题得证．
b&=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\left[3t^2+(3+2m)t+\dfrac 12+m\right]\lambda^{2},\\
c&=-x_1x_2x_3=-\left[t^3+\left(\dfrac 32+m\right)t^2+\left(\dfrac 12+m\right)t\right]\lambda^{3},\end{split} \end{eqnarray*}于是$$\dfrac{2a^3+27c-9ab}{\lambda^3}=-2m^3+\dfrac 92m=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{4m^2\cdot\left(\dfrac 92-2m^2\right)\cdot\left(\dfrac 92-2m^2\right)}\leqslant \dfrac12\sqrt{3^{3}}=\dfrac 32\sqrt 3,$$当 $m^{2}=\dfrac 34$ 时等号成立，原命题得证．
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解析
备注
