已知 $f(x)=x^2-2x+\sin\dfrac{\pi}2x$，$x\in (0,1)$．记 $f(x)$ 的极小值点为 $x_0$，若 $f(x_1)=f(x_2)$，且 $x_1<x_2$，求证：$x_1+x_2>2x_0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=2x-2+\dfrac{\pi}2\cos\dfrac{\pi}2x,$$其二阶导函数$$f''(x)=2-\dfrac{\pi^2}4\sin\dfrac{\pi}2x.$$构造二次函数$$g(x)=\dfrac 12f''(x_0)(x-x_0)^2+f(x_0),$$记 $h(x)=f(x)-g(x)$，则$$h''(x)=f''(x)-f''(x_0),$$结合 $f''(x)$ 单调递减，可得在 $(0,x_0)$ 上 $h''(x)>0$，在 $(x_0,1)$ 上 $h''(x)<0$．进而由 $h'(x)=f'(x)-g'(x)$ 可得 $h'(x_0)=f'(x_0)=0$，从而在区间 $(0,1)$ 上均有 $h'(x)\leqslant 0$．这样再结合 $h(x_0)=0$，可得在区间 $(0,x_0)$ 上 $h(x)>0$，在区间 $(x_0,1)$ 上 $h(x)<0$，因此函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的图象如图所示．
设 $f(x_1)=f(x_2)=g(x_3)=g(x_4)$（$x_3<x_4$），这样我们就有$$x_3<x_1<x_0<x_4<x_2,$$从而$$x_1+x_2>x_3+x_4=2x_0,$$原命题得证．
设 $f(x_1)=f(x_2)=g(x_3)=g(x_4)$（$x_3<x_4$），这样我们就有$$x_3<x_1<x_0<x_4<x_2,$$从而$$x_1+x_2>x_3+x_4=2x_0,$$原命题得证．
答案
解析
备注
