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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27458 590986be39f91d000a7e4559 高中 解答题 自招竞赛 已知实数 $x,y,z$ 满足方程组$$\begin{cases}\log _2 \left (xyz-3+\log _5 x\right )=5,\\ \log _3 \left (xyz-3+\log _5 y\right )=4, \\ \log _4 \left (xyz-3+\log _5 z\right )=4. \end{cases}$$求 $\left |\log_5x \right |+\left |\log_5y \right |+\left |\log_5z \right |$ 的值． 2022-04-17 21:25:04
27457 5909871839f91d0008f05057 高中 解答题 自招竞赛 直角三角形 $ABC_0$（$C_0$ 为直角）的三边长是两两互质的正整数，周长为 $p$．作 $C_0C_1 \perp AB$ 于 $C_1$，当 $n \geqslant 2$ 时，作 $C_{n-1}C_{n} \perp BC_{n-2}$ 于 $C_n$．已知 $\displaystyle \sum \limits_{n=1}^{\infty}C_{n-1}C_n=6p$，求 $p$ 的值． 2022-04-17 21:24:04
27456 5909877139f91d0008f05062 高中 解答题 自招竞赛 正方形 $ABCD$ 的面积为 $2016$，正方形 $IJKL$ 的 $4$ 个顶点分别落在正方形 $ABCD$ 的 $4$ 条边上，其面积为正整数．正方形 $EFGH$ 的 $4$ 个顶点分别落在正方形 $IJKL$ 的 $4$ 条边上，其中心与正方形 $ABCD$ 的中心重合，$EF \parallel AB$，且其面积是一个小于 $2016$ 的正整数．求正方形 $IJKL$ 面积的最大值与最小值的差． 2022-04-17 21:23:04
27455 590987b739f91d0007cc9397 高中 解答题 高考真题 如图，$O$ 为坐标原点，双曲线 ${C_1}:\dfrac{x^2}{a_1^2}- \dfrac{y^2}{b_1^2}= 1\left({a_1}> 0,{b_1}> 0\right)$ 和椭圆 ${C_2}:\dfrac{y^2}{a_2^2}+ \dfrac{x^2}{b_2^2}= 1\left({a_2}>{b_2}> 0\right)$ 均过点 $P\left(\dfrac{2\sqrt 3}{3},1\right)$，且以 ${C_1}$ 的两个顶点和 ${C_2}$ 的两个焦点为顶点的四边形是面积为 $2$ 的正方形． 2022-04-17 21:23:04
27454 590987d639f91d0007cc939d 高中 解答题 自招竞赛 $1,a_2,a_3,\cdots$ 是一个各项均为正整数的单调递增的等差数列，$1,b_2,b_3,\cdots$ 是一个各项均为正整数的单调递增的等比数列．令 $c_n=a_n+b_n$，已知存在整数 $k$ 满足 $c_{k-1}=100,c_{k+1}=1000$，求 $c_k$ 的值． 2022-04-17 21:22:04
27453 5909882239f91d000a7e456b 高中 解答题 自招竞赛 三角形 $ABC$ 内接于圆 $\omega$，$P,Q$ 是线段 $AB$ 上的点，且 $AP<AQ$．射线 $CP,CQ$ 分别交圆 $\omega$ 于点 $S,T$．如果 $AP=4,PQ=3,QB=6,BT=5,AS=7$，设 $ST=\dfrac{m}{n}$，其中 $m,n$ 为互质的正整数．求 $m+n$ 的值． 2022-04-17 21:21:04
27452 5909886f39f91d000a7e4572 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c>0$，求证：$\dfrac{a^3}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2-ca+a^2}<\dfrac 54(a+b+c)$． 2022-04-17 21:21:04
27451 5909887f39f91d0009d4c067 高中 解答题 自招竞赛 对于正整数 $N,k$，若存在正整数 $a$，使得 $a^k$ 恰好有 $N$ 个正因数，则称 $N$ 是一个" $k$ -好数"．求小于 $1000$ 的正整数中，既不是" $7$ -好数"又不是" $8$ -好数"的正整数的个数． 2022-04-17 21:20:04
27450 590988b539f91d0009d4c06a 高中 解答题 高中习题 求 $\left(15+\sqrt{215}\right)^{20}+\left(15+\sqrt{215}\right)^{15}$ 的个位数． 2022-04-17 21:20:04
27449 590988d939f91d000a7e457d 高中 解答题 高中习题 设复数 $z$ 满足 $|z|=1$，求 $\left|z^3-3z-2\right|$ 的取值范围． 2022-04-17 21:20:04
27448 5909890739f91d0009d4c06d 高中 解答题 高中习题 求 $\dfrac{2\cos 10^\circ}{\sin 70^\circ}-\tan 20^\circ$ 的值． 2022-04-17 21:19:04
27447 59098a0c39f91d0007cc93ba 高中 解答题 高中习题 若 $a,b,c$ 为非零复数，且 $\dfrac ab=\dfrac bc=\dfrac ca$，求 $\dfrac{a+b+c}{a-b+c}$ 的值． 2022-04-17 21:19:04
27446 59098a7039f91d000a7e458b 高中 解答题 高中习题 如图，已知四边形 $ABCD$ 既有外接圆又有内切圆．设四边形的四边长分别为 $a,b,c,d$，内切圆圆心到四个顶点的距离分别为 $a',b',c',d'$，内切圆半径为 $r$．求证：$$\sin A+\sin B+\sin C+\sin D=\dfrac{8abcdr}{a'b'c'd'(a+b+c+d)}.$$ 2022-04-17 21:18:04
27445 59098ae639f91d0007cc93c6 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a_i=\dfrac{1}{2^i}(i=1,2,\cdots ,215)$，$a_{216}=\dfrac{1}{2^{215}}$．正实数 $x_1,x_2,\cdots,x_{216}$ 满足$$\sum\limits_{i=1}^{216} x_i=1,\quad \sum\limits_{1\leqslant i<j \leqslant 216} x_ix_j = \dfrac{107}{215}+ \sum\limits_{i=1}^{216} \dfrac{a_ix_i^2}{2(1-a_i)}.$$设 $x_2$ 的最大值为 $\dfrac{m}{n}$，其中 $m,n$ 为互质的正整数．求 $m+n$ 的值． 2022-04-17 21:17:04
27444 59098aeb39f91d000a7e4591 高中 解答题 高考真题 已知函数 $f\left(x\right) ={{\mathrm{e}}^x}+{{\mathrm{e}}^{- x}}$，其中 ${\mathrm{e}}$ 是自然对数的底数． 2022-04-17 21:17:04
27443 59098afd39f91d0007cc93c9 高中 解答题 高中习题 满足线性约束条件 $\begin{cases}2x+y\leqslant 3\\ x+2y\leqslant 3 \\ x\geqslant 0,y\geqslant 0\end{cases}$ 的目标函数 $z=x+y$ 的最大值是 ． 2022-04-17 21:17:04
27442 59098b4f39f91d0007cc93cd 高中 解答题 高中习题 已知实数 $x,y$ 满足 $\begin{cases}y\geqslant 1\\ y\leqslant 2x-1\\ x+y\leqslant m\end{cases}$，目标函数 $z=x-y$ 的最小值为 $-1$，则实数 $m$ 等于 ． 2022-04-17 21:16:04
27441 59098c8438b6b400091effa1 高中 解答题 高中习题 设点 $A(1,0)$，$B(2,1)$，如果直线 $ax+by=1$ 与线段 $AB$ 有一个公共点，则 $a^2+b^2$ 的取值范围是 ． 2022-04-17 21:16:04
27440 59098e1a38b6b400091effc5 高中 解答题 高中习题 设集合 $A$ 是整数集 $\mathbb Z$ 的子集，其中有正有负，且 $a,b\in A$（$a,b$ 可以相等），则 $a+b\in A$．求证：若 $a,b\in A$，则 $a-b\in A$． 2022-04-17 21:15:04
27439 59098e2838b6b400072dd1f7 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC}+2\overrightarrow {BA}\cdot\overrightarrow {BC}=3\overrightarrow {CA}\cdot\overrightarrow {CB}$．求 $\sin C$ 的最大值． 2022-04-17 21:15:04
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