求证：$x-\ln x-\dfrac{\ln x}x-\dfrac 12>0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
我们熟知 $x-\ln x\geqslant 1$．
又因为函数 $f(x)=\dfrac {\ln x}{x}$ 的导函数为$$f(x)'=\dfrac {1-\ln x}{x^2},$$所以 $f(x)$ 在 $x={\rm e}$ 处取到极大值也是最大值 $\dfrac {1}{\rm e}$，于是有 $\dfrac {\ln x}{x}\leqslant \dfrac {1}{\rm e}$．
从而有$$LHS\geqslant 1-\dfrac {1}{\rm e}-\dfrac 12>0,$$不等式得证．
又因为函数 $f(x)=\dfrac {\ln x}{x}$ 的导函数为$$f(x)'=\dfrac {1-\ln x}{x^2},$$所以 $f(x)$ 在 $x={\rm e}$ 处取到极大值也是最大值 $\dfrac {1}{\rm e}$，于是有 $\dfrac {\ln x}{x}\leqslant \dfrac {1}{\rm e}$．
从而有$$LHS\geqslant 1-\dfrac {1}{\rm e}-\dfrac 12>0,$$不等式得证．
答案
解析
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