已知 $a,b,c>0$，且 $abc+a+c=b$，求 $m=\dfrac{2}{a^2+1}-\dfrac{2}{b^2+1}+\dfrac{3}{c^2+1}$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{10}3$
【解析】
根据已知，有 $c=\dfrac{b-a}{1+ab}$，设 $a=\tan A$，$b=\tan B$，$c=\tan C$，$A,B,C\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，则有$$C=B-A.$$于是\begin{eqnarray*}\begin{split} m&=2\cos^2A-2\cos^2 B+3\cos^2 C\\
&=1+\cos 2A-(1+\cos 2B)+\dfrac 32(1+\cos 2C)\\
&=\dfrac 32+\cos 2A-\cos 2B+\dfrac 32\cos (2B-2A)\\
&=\dfrac 32+\left(1+\dfrac 32\cos 2B\right)\cos 2A+\dfrac 32\sin 2B\sin 2A-\cos 2B\\
&\leqslant \dfrac 32+\sqrt{\left(1+\dfrac 32\cos 2B\right)^2+\left(\dfrac 32\sin 2B\right)^2}-\cos 2B\\
&=\dfrac 32+\sqrt{\dfrac{13}4+3\cos 2B}-\cos 2B
,\end{split} \end{eqnarray*}令 $t=\sqrt{\dfrac{13}4+3\cos 2B}$，$t\in \left(\dfrac 12,\dfrac 52\right)$，则$$m\leqslant \dfrac 32+t-\dfrac{t^2-\dfrac{13}4}{3}=-\dfrac 13t^2+t+\dfrac{31}{12}\leqslant \dfrac{10}3,$$等号当 $t=\dfrac 32$ 时取得．因此所求 $m$ 的最大值为 $\dfrac{10}3$．此时 $a=\dfrac{\sqrt 2}{2},b=\sqrt 2,c=\dfrac {\sqrt 2}{4}$．
&=1+\cos 2A-(1+\cos 2B)+\dfrac 32(1+\cos 2C)\\
&=\dfrac 32+\cos 2A-\cos 2B+\dfrac 32\cos (2B-2A)\\
&=\dfrac 32+\left(1+\dfrac 32\cos 2B\right)\cos 2A+\dfrac 32\sin 2B\sin 2A-\cos 2B\\
&\leqslant \dfrac 32+\sqrt{\left(1+\dfrac 32\cos 2B\right)^2+\left(\dfrac 32\sin 2B\right)^2}-\cos 2B\\
&=\dfrac 32+\sqrt{\dfrac{13}4+3\cos 2B}-\cos 2B
,\end{split} \end{eqnarray*}令 $t=\sqrt{\dfrac{13}4+3\cos 2B}$，$t\in \left(\dfrac 12,\dfrac 52\right)$，则$$m\leqslant \dfrac 32+t-\dfrac{t^2-\dfrac{13}4}{3}=-\dfrac 13t^2+t+\dfrac{31}{12}\leqslant \dfrac{10}3,$$等号当 $t=\dfrac 32$ 时取得．因此所求 $m$ 的最大值为 $\dfrac{10}3$．此时 $a=\dfrac{\sqrt 2}{2},b=\sqrt 2,c=\dfrac {\sqrt 2}{4}$．
答案
解析
备注
