如图，$P$ 和 $AB$ 是抛物线 $C$ 的一对极点和极线，$Q$ 是抛物线 $C$ 上异于 $A,B$ 的任一点，过 $Q$ 作抛物线 $C$ 的切线分别交直线 $PA,PB$ 于 $D,E$，则 $\dfrac{S_{\triangle QAB}}{S_{\triangle PDE}}=2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设抛物线 $C:x^{2}=2py$，$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，$P(x_{0},y_{0})$，$Q(x_{3},y_{3})$，则\[x_{1}^{2}=2py_{1},x_{2}^{2}=2py_{2},x_{3}^{2}=2py_{3},\]各直线的方程分别为\[\begin{aligned}PA:x_{1}x=p(y+y_{1}),\\ PB:x_{2}x=p(y+y_{2}), \\ AB:x_{0}x=p(y+y_{0}),\\ DE:x_{3}x=p(y+y_{3}),\end{aligned}\]于是\[S_{\triangle QAB}=\dfrac{1}{2}\cdot \left|x_{1}-x_{2}\right|\cdot \left|\left(\dfrac{x_{0}x_{3}}{p}-y_{0}\right)-y_{3}\right|,\]分别联立直线 $DE$ 与直线 $PA,PB$，得 $x_{D}=\dfrac{x_{1}+x_{3}}{2}$，$x_{E}=\dfrac{x_{2}+x_{3}}{2}$．
于是\[S_{\triangle PDE}=\dfrac{1}{2}\cdot \left|\left(\dfrac{x_{1}+x_{3}}{2}\right)-\left(\dfrac{x_{2}+x_{3}}{2}\right)\right|\cdot \left|\left(\dfrac{x_{3}x_{0}}{p}-y_{3}\right)-y_{0}\right|,\]于是\[\dfrac{S_{\triangle QAB}}{S_{\triangle PDE}}=2.\]
于是\[S_{\triangle PDE}=\dfrac{1}{2}\cdot \left|\left(\dfrac{x_{1}+x_{3}}{2}\right)-\left(\dfrac{x_{2}+x_{3}}{2}\right)\right|\cdot \left|\left(\dfrac{x_{3}x_{0}}{p}-y_{3}\right)-y_{0}\right|,\]于是\[\dfrac{S_{\triangle QAB}}{S_{\triangle PDE}}=2.\]
答案
解析
备注
