已知 $A,B,C$ 是 $\triangle ABC$ 的三个内角，求证：$$\left(\csc\dfrac A2+\csc\dfrac B2+\csc\dfrac C2\right)^2\geqslant 9+\left(\cot\dfrac A2+\cot\dfrac B2+\cot\dfrac C2\right)^2,$$并指明等号取得的条件．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
原不等式即$$\left(\sum_{cyc}\csc\dfrac A2+\sum_{cyc}\cot\dfrac A2\right)\left(\sum_{cyc}\csc\dfrac A2-\sum_{cyc}\cot\dfrac A2\right)\geqslant 9,$$也即$$\sum_{cyc}\dfrac{1+\cos\dfrac A2}{\sin\dfrac A2}\cdot \sum_{cyc}\dfrac{1-\cos\dfrac A2}{\sin\dfrac A2}\geqslant 9,$$由半角正切公式，可得$$LHS=\sum_{cyc}\cot\dfrac{A}{4}\cdot \sum_{cyc} \tan\dfrac{A}{4},$$而由柯西不等式，有$$\sum_{cyc}\cot\dfrac{A}{4}\cdot \sum_{cyc} \tan\dfrac{A}{4}\geqslant 9,$$因此原不等式得证．
答案
解析
备注
