已知 $a,b\in\mathbb R$，关于 $x$ 的方程 $x^4+ax^3+2x^2+bx+1=0$ 有一个实根，求 $a^2+b^2$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$8$
【解析】
方程等价于$$x^2+ax+2+\dfrac{b} x+\dfrac{1}{x^2}=0,$$于是$$x^2+\dfrac{1}{x^2}+2=-ax-\dfrac bx\leqslant \sqrt{a^2+b^2}\cdot \sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}},$$令 $t=\sqrt{x^2+\dfrac 1{x^2}}$（$t\geqslant \sqrt 2$），则有$$\sqrt{a^2+b^2}\geqslant \dfrac{t^2+2}t=t+\dfrac 2t\geqslant 2\sqrt 2,$$等号当 $a=b=2,x=-1$ 或 $a=b=-2,x=1$ 时取到，因此所求的最小值为 $8$．
答案
解析
备注
