设正数 $a,b,c$ 满足 $ab+bc+ca=1$，求 $\dfrac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2016年中国科学技术大学入学考试试题
【标注】
【答案】
$\left(1,\dfrac 32\right]$
【解析】
设 $a=\tan\dfrac A2,b=\tan\dfrac B2,c=\tan\dfrac C2$，其中 $A+B+C=\pi$，$A,B,C>0$，则$$\dfrac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}=\sin\dfrac A2+\sin\dfrac B2+\sin\dfrac C2.$$一方面，有$$\sin\dfrac A2+\sin\dfrac B2+\sin\dfrac C2\leqslant 3\sin\dfrac{A+B+C}6=\dfrac 32,$$等号当 $A=B=C=\dfrac{\pi}3$ 时取得；另一方面，有$$\sin\dfrac A2+\sin\dfrac B2+\sin\dfrac C2>\sin\dfrac{A+B}2+\sin\dfrac C2>\sin\dfrac{A+B+C}2=1,$$当 $(A,B,C)\to (0,0,\pi)$ 时，$$\sin\dfrac A2+\sin\dfrac B2+\sin\dfrac C2\to 1.$$于是所求的取值范围是 $\left(1,\dfrac 32\right]$．
答案
解析
备注
