已知椭圆 $C:\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 的左顶点为 $A$，上顶点为 $P$，椭圆 $C$ 上是否存在一点 $T$，使得 $\triangle TPA$ 的面积为 $1$，若存在求出点 $T$ 的坐标，若不存在，说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(\sqrt 2,\dfrac{\sqrt 2}{2}\right)$ 或 $\left(-\sqrt 2,-\dfrac{\sqrt 2}{2}\right)$
【解析】
$|PA|=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt 5$，于是根据 $\triangle TPA$ 的面积为 $1$ 知位于直线 $x-2y=0$ 或 $x-2y+4=0$ 上．
情形一 若 $T$ 在直线 $x-2y=0$ 上，有 $x=2y$，代入椭圆方程 $x^{2}+4y^{2}=4$ 有 $(2y)^{2}+4y^{2}=4$，解得 $y=\pm \dfrac{\sqrt 2}{2}$，此时 $x=\pm \sqrt 2$；
情形二 若 $T$ 在直线 $x-2y+4=0$ 上，有 $x=2y-4$，代入椭圆方程 $x^{2}+4y^{2}=4$ 有 $(2y-4)^{2}+4y^{2}=4$，即 $2y^{2}-4y+3=0$，无解．
综上，点 $T$ 的坐标为 $\left(\sqrt 2,\dfrac{\sqrt 2}{2}\right)$ 或 $\left(-\sqrt 2,-\dfrac{\sqrt 2}{2}\right)$．
综上，点 $T$ 的坐标为 $\left(\sqrt 2,\dfrac{\sqrt 2}{2}\right)$ 或 $\left(-\sqrt 2,-\dfrac{\sqrt 2}{2}\right)$．
答案
解析
备注
