已知 $a,b,c\geqslant 0$，且 $a+b+c=1$，求证：$5\left(a^2+b^2+c^2\right)+18abc\geqslant \dfrac 73$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $p=a+b+c$，$q=ab+bc+ca$，$r=abc$，则$$LHS=5\left(p^2-2q\right)+18r=5-10q+18r.$$由Schur不等式，有$$p^3+9r\geqslant 4pq,$$于是$$9r-4q\geqslant -1,$$从而有$$5-10q+18r\geqslant 3-2q\geqslant 3-2\cdot \dfrac 13p^2=\dfrac 73,$$原不等式得证．
答案
解析
备注
