已知 $\triangle ABC$ 中，$A:B:C=1:3:9$，求 $\cos A+\cos B+\cos C$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{1+\sqrt{13}}4$
【解析】
易知 $A=\dfrac{\pi}{13}$，$B=\dfrac{3\pi}{13}$，$C=\dfrac{9\pi}{13}$，记 $x_k=\cos\dfrac{k\pi}{13}$，其中 $k\in\mathbb N$．
所求代数式 $m=x_1+x_3+x_9$，有\begin{eqnarray*}\begin{split} m^2
&=x_1^2+x_3^2+x_9^2+2x_1x_3+2x_3x_9+2x_9x_1\\
&=\dfrac{1+x_2}{2}+\dfrac{1+x_6}{2}+\dfrac{1+x_{18}}{2}+x_4+x_2+x_{12}+x_6+x_{10}+x_8\\
&=x_2+x_4+x_6+x_8+x_{10}+x_{12}+\dfrac 12x_2+\dfrac 12x_6+\dfrac 12x_8+\dfrac 32
,\end{split} \end{eqnarray*}又$$m=x_1+x_3+x_9=-x_{12}-x_{10}-x_4,$$从而\begin{eqnarray*}\begin{split} m^2-\dfrac 12m&=\dfrac 32+\dfrac 32\left(x_2+x_4+x_6+x_8+x_{10}+x_{12}\right)\\
&=\dfrac 32+\dfrac 34\left(x_2+x_4+\cdots +\cdots +x_{24}+x_0\right)-\dfrac 34x_0\\
&=\dfrac 32-\dfrac 34=\dfrac 34,\end{split} \end{eqnarray*}从而$$4m^2-2m-3=0,$$解得 $m=\dfrac{1+\sqrt{13}}4$（负号舍去）．
所求代数式 $m=x_1+x_3+x_9$，有\begin{eqnarray*}\begin{split} m^2&=x_1^2+x_3^2+x_9^2+2x_1x_3+2x_3x_9+2x_9x_1\\
&=\dfrac{1+x_2}{2}+\dfrac{1+x_6}{2}+\dfrac{1+x_{18}}{2}+x_4+x_2+x_{12}+x_6+x_{10}+x_8\\
&=x_2+x_4+x_6+x_8+x_{10}+x_{12}+\dfrac 12x_2+\dfrac 12x_6+\dfrac 12x_8+\dfrac 32
,\end{split} \end{eqnarray*}又$$m=x_1+x_3+x_9=-x_{12}-x_{10}-x_4,$$从而\begin{eqnarray*}\begin{split} m^2-\dfrac 12m&=\dfrac 32+\dfrac 32\left(x_2+x_4+x_6+x_8+x_{10}+x_{12}\right)\\
&=\dfrac 32+\dfrac 34\left(x_2+x_4+\cdots +\cdots +x_{24}+x_0\right)-\dfrac 34x_0\\
&=\dfrac 32-\dfrac 34=\dfrac 34,\end{split} \end{eqnarray*}从而$$4m^2-2m-3=0,$$解得 $m=\dfrac{1+\sqrt{13}}4$（负号舍去）．
答案
解析
备注
