略

方法一由抛物线 $y^2=2px$ 过定点 $C(1,2)$，可得抛物线方程为 $y^2=4x$．
设点 $A$ 的坐标为 $\left(\dfrac{y_0^2}4,y_0\right)(y_0\ne 2)$，则直线 $AC$ 的方程为\[y-2=\dfrac{y_0-2}{\dfrac{y_0^2}4-1}(x-1),\]即 $y-2=\dfrac 4{y_0+2}(x-1)$，与 $y=x+3$ 联立，解得 $P$ 点坐标为 $\left(\dfrac{-y_0-6}{y_0-2},\dfrac{2y_0-12}{y_0-2}\right)$．
所以 $B$ 点坐标为 $\left(\dfrac{(y_0-6)^2}{(y_0-2)^2},\dfrac{2y_0-12}{y_0-2}\right)$．
当 $y_0^2=12$ 时，$A$ 坐标为 $(3,y_0)$，$B$ 点坐标为 $\left(3,\dfrac{2y_0-12}{y_0-2}\right)$，直线 $AB$ 过定点 $Q(3,2)$．
当 $y_0^2 \ne 12$ 时，$\dfrac{y_0^2}4 \ne \dfrac{(y_0-6)^2}{(y_0-2)^2}$，直线 $AB$ 的方程为\[y-y_0=\dfrac{y_0-\dfrac{2y_0-12}{y_0-2}}{\dfrac{y_0^2}4-\dfrac{(y_0-6)^2}{(y_0-2)^2}}\left(x-\dfrac{y_0^2}4\right),\]化简得，\[y-y_0=\dfrac{(y_0-2)}{y_0^2-12}(4x-y_0^2)\text{或}:y-y_0=\dfrac{(y_0-2)}{\dfrac{y_0^2}4-3}\left(x-\dfrac{y_0^2}4\right),\]易得，直线 $AB$ 也过定点 $Q(3,2)$．
方法二 由抛物线 $y^2=2px$ 过定点 $C(1,2)$，可得抛物线方程为 $y^2=4x$．设直线 $AB$ 的方程为 $x=my+a$，与抛物线方程联立得，\[y^2-4my-4a=0.\]设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则\[y_1+y_2=4m,y_1y_2=-4a.\]$P$ 点坐标为 $B(y_2-3,y_2)$，因为 $AP$ 过定点 $C$，所以$$\dfrac{y_2-2}{y_2-3-1}=\dfrac{y_1-2}{x_1-1},$$又 $x_1=my_1+a$，所以\[(m-1)y_1y_2-(2m-4)y_1+(a+1)y_2-2a-6=0.\]将 $y_1y_2=-4a,y_2=4m-y_1$ 代入上式，得\[(-2m+3-a)y_1+(2a+4m-6)=0,\]即\[(-2m+3-a)(y_1-2)=0.\]因此式对任意 $y_1 \ne 2$ 都成立，所以 $-2m+3-a=0$，即 $3=2m+a$．
所以直线 $x=my+a$ 过定点 $Q(3,2)$．

$4\sqrt 2$

由 $(1)$ 可设直线 $AB$ 的方程为 $x-3=m(y-2)$，与抛物线方程联立得\[y^2-4my+4(2m-3)=0.\]则\[y_1+y_2=4m,y_1y_2=4(2m-3),\]\[\begin{split}S_{\triangle ABC}&=\dfrac 1 2\left|CQ\right|\cdot \left|y_1-y_2\right|=\left|y_1-y_2\right|\\&=\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}\\&=4\sqrt{(m-1)^2+2}.\end{split}\]所以当 $m=1$ 时，$\triangle ABC$ 面积的最小值为 $4\sqrt 2$．