已知抛物线 $L:y=-\dfrac 12(x-t)(x-t+4)$（常数 $t>0$）与双曲线 $y=\dfrac{6}{x}$ 有个交点的横坐标为 $x_0$，且满足 $4\leqslant x_0\leqslant 6$，通过 $L$ 位置随 $t$ 变化的过程，求出 $t$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$t$ 的取值范围为 $5\leqslant t\leqslant 8-\sqrt 2$ 或 $7\leqslant t\leqslant 8+\sqrt 2$
【解析】
如图，双曲线在 $4\leqslant x_0\leqslant 6$ 时，$1\leqslant y_0\leqslant \dfrac 32$，所以 $L$ 与双曲线在 $C\left(4,\dfrac 32\right)$，$D(6,1)$ 之间的一段有个交点，因为抛物线与 $x$ 轴的交点为 $(t,0),(t-4,0)$（$t-4<t$），所以 $(t,0)$ 在 $(t-4,0)$ 的右侧．
由 $\dfrac 32=-\dfrac 12(x-t)(x-t+4)$，$x=4$，得 $t_1=5,t_2=7$．
由 $1=-\dfrac 12(x-t)(x-t+4)$，$x=6$，得 $t_3=8-\sqrt 2,t_4=8+\sqrt 2$．
因为 $5<8-\sqrt 2<7<8+\sqrt 2$，
所以当 $t=5$ 时，$L$ 右侧过点 $C$；
当 $t=8-\sqrt 2$ 时，$L$ 右侧过点 $D$；
当 $t=7$ 时，$L$ 左侧过点 $C$；
当 $t=8+\sqrt 2$ 时，$L$ 左侧过点 $D$，
所以 $5\leqslant t\leqslant 8-\sqrt 2$ 或 $7\leqslant t\leqslant 8+\sqrt 2$．
由 $\dfrac 32=-\dfrac 12(x-t)(x-t+4)$，$x=4$，得 $t_1=5,t_2=7$．由 $1=-\dfrac 12(x-t)(x-t+4)$，$x=6$，得 $t_3=8-\sqrt 2,t_4=8+\sqrt 2$．
因为 $5<8-\sqrt 2<7<8+\sqrt 2$，
所以当 $t=5$ 时，$L$ 右侧过点 $C$；
当 $t=8-\sqrt 2$ 时，$L$ 右侧过点 $D$；
当 $t=7$ 时，$L$ 左侧过点 $C$；
当 $t=8+\sqrt 2$ 时，$L$ 左侧过点 $D$，
所以 $5\leqslant t\leqslant 8-\sqrt 2$ 或 $7\leqslant t\leqslant 8+\sqrt 2$．
答案
解析
备注
